Logarithmus Regel Exponent als lineare Faktor davor

12.02.2017, 18:28

Enomine

Logarithmus Regel Exponent als lineare Faktor davor

Hi,

ich habe eine Lernkollegin, die behauptet:
$\begin{eqnarray*} ln(x)^x = (ln(x))^x = ln(x^x) = x ln(x) \end{eqnarray*}$
dass $\begin{eqnarray*} ln(x^x) = x ln(x) \end{eqnarray*}$ ist habe ich auf diversen Internetseiten bestätigt gefunden, aber dass $\begin{eqnarray*} (ln(x))^x \end{eqnarray*}$ dasselbe sein soll wie $\begin{eqnarray*} x ln(x) \end{eqnarray*}$ konnte ich so nicht nachvollziehen.

Danke - Enomine

12.02.2017, 18:37

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} (\ln(x))^x=\ln(x^x) \end{eqnarray*}$ ist falsch.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \ln(x)^x \end{eqnarray*}$ würde ich übrigens nicht verwenden, weil es da zu Missverständnissen kommen kann, ob nun $\begin{eqnarray*} (\ln(x))^x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ln(x^x) \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

12.02.2017, 18:55

willichnich

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RE: Logarithmus Regel Exponent als lineare Faktor davor
Zustimmung zum Beitrag von 10001000Nick1.

Es wurde behauptet:

Zitat:

dass $\begin{eqnarray*} (ln(x))^x \end{eqnarray*}$ dasselbe sein soll wie $\begin{eqnarray*} x ln(x) \end{eqnarray*}$

Man nehme anstatt des natürlichen Logarithmus ln einfach den Zehnerlogarithmus (hier als: lg) und vergleiche dann für x=10:
$\begin{align*} (lg(x))^x \end{align*}$ mit $\begin{align*} x lg(x) \end{align*}$
Alsdann nehme man z. B. den Zweierlogarithmus (ld), also den Logarithmus zur Basis 2, und vergleiche wiederum für x=2 oder auch x=4:
$\begin{align*} (ld(x))^x \end{align*}$ mit $\begin{align*} x ld(x) \end{align*}$
Vorstehende Vergleiche funktionieren ohne Taschenrechner.

Entsprechend lassen sich diese Vergleiche auf ln übertragen. Einfach mit Taschenrechner vergleichen, z. B. für x=e oder x=e² oder viele andere Zahlen, außer einer bestimmten Zahl 4,6060 < x < 4,6062.

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