Algebraische Zahlen

13.02.2017, 11:33	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraische Zahlen Hallo, ich wundere mich über die Einführung "algebraischer Zahlen" auf Wikipedia de&en [1,2]. Dort werden algebraische Zahlen als Komplexe Zahlen definiert, die Nullstellen von Polynomen aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ sind. [2] Aber ließe sich das nicht auch erweitern über beliebige Ringe? Z.B. so? Sei $\begin{eqnarray} R\subset R' \end{eqnarray}$ eine Ringerweiterung. Jedes Element $\begin{eqnarray} r'\in R' \end{eqnarray}$ für das ein Polynom $\begin{eqnarray} f\in R[x] \end{eqnarray}$ existiert sodass $\begin{eqnarray} f(r')=0 \end{eqnarray}$ heißt algebraisch über R. Ggfs. könnte man ja auch $\begin{eqnarray} x=(x_1,...,x_n) \end{eqnarray}$ zulassen? (und entsprechende Ringe betrachten, sodass f(x) auch sinnvoll bleibt) Was spräche dagegen? Analog ließen sich dann auch transzendente Zahlen über beliebe Ringe definieren. ----------------- Das nachfolgende ist für mich derzeit recht unwichtig, aber eine Überlegung: Ein nächster Schritt wären dann die Definition "ganzer Zahlen", die algebraische Zahlen sind, deren Polynom $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ jedoch normiert ist. (Hier wäre dann die Definition eines normierten Polynoms in n-Variablen wichtig.) Literatur [1] https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl [2] https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number
13.02.2017, 12:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Über einem beliebigen Körper K kann man algebraische Erweiterungen definieren, das sind Körpererweiterungen, die nur algebraische Elemente enthalten. Nur über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ spricht man von algebraischen Zahlen. Algebraische Zahlen kann man als komplexe Zahlen auffassen, weil sich algebraische Zahlkörper immer in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ einbetten lassen. Ganze Zahlen in algebraischen Zahlkörpern sind Nullstellen normierter Polynome mit ganzrationalen Koeffizienten.
14.02.2017, 15:06	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah. Also ist das (wie ich irgendwie schon vermutet hatte) eine an $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ausgerichtete Definitionssache. Danke.
15.02.2017, 11:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte gerne. Beachte auch, dass man algebraische Zahlen in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ einbetten kann, aber nicht muss. Es gibt sehr hübsche konstruktive Verfahren zur Adjunktion ( https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunktion_(Algebra) ) von Nullstellen von Polynomen über Körpern oder Ringen. Dadurch erledigt sich die müßige Frage danach, wo die Nullstellen liegen oder welche Form sie haben, denn viel wichtiger ist die schlichte Existenz dieser algebraischen Elemente und Strukturen. Wenn ich recht erinnere, stammt das Verfahren von Leopold Kronecker ( https://de.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker ).

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