[Erledigt] Frage zur Ableitung von Fourierreihe

13.02.2017, 14:32

MatheKind

[Erledigt] Frage zur Ableitung von Fourierreihe

Hallo,
ich schau mir gerade im Papula die Herleitung der Berechnung der Fourierkoeffizienten an.
Mir ist klar, dass man den mittleren quadratischen Fehler minimieren will:
$\begin{eqnarray*} \int_{-T/2}^{T/2} \! (f(t) - F_n(t))^2 \, dt \end{eqnarray*}$

Aber wie kommt man dann auf

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \! cos(k \omega t) f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \! sin(k \omega t) f(t) \, dt \end{eqnarray*}$
?

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{T} \end{eqnarray*}$ kommen wohl durch $\begin{eqnarray*} \omega = \frac{2 \pi}{T} \end{eqnarray*}$ zustande, aber wo bleibt das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ? Und weshalb werden plötzlich die beiden Funktionen multipliziert statt subtrahiert? verwirrt

Danke im Voraus für die Aufklärung!

13.02.2017, 14:51

HAL 9000

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RE: Frage zur Ableitung von Fourierreihe
Das ist eine mittellange Ableitung, die von dem von dir schon genannten MKQ-Prinzip ("den mittleren quadratischen Fehler minimieren") ausgeht und in der Herleitung die Orthogonalität der beteiligten Basisfunktionen nutzt, d.h.

$\begin{align*} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \cos(k\omega t)\sin(l\omega t) = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k,l \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \cos(k\omega t)\cos(l\omega t) = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\neq l \end{align*}$ und $\begin{align*} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \sin(k\omega t)\sin(l\omega t) = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\neq l \end{align*}$ .

Zitat:

Original von MatheKind
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{T} \end{eqnarray*}$ kommen wohl durch $\begin{eqnarray*} \omega = \frac{2 \pi}{T} \end{eqnarray*}$ zustande, aber wo bleibt das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?

Genauer gesagt kommt das von

$\begin{align*} \int\limits_{-T/2}^{T/2} \cos^2(k\omega t) ~ \dd t = \int\limits_{-T/2}^{T/2} \sin^2(k\omega t) ~ \dd t = \frac{T}{2} \end{align*}$

für die "restlichen" Fälle (also die, die oben nicht per Orthogonalität bei 0 landen).

13.02.2017, 18:16

MatheKind

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Wow, danke! Das werde ich erst mal verarbeiten! smile

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