Koordinatengleichung einer Ebene

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Sachar Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatengleichung einer Ebene
Hallo!
Ich bin gerade dabei die Lösung zu eine Aufgabe zu Koordinatengleichungen von Ebenen nachzuvollziehen.

Es geht darum, die Koordinatengleichung einer Ebene aufzustellen. Dazu wird ein LGS aufgestellt, mit dem Ziel den Normalenvektor zur Ebene zu erhalten. Es ist ein LGS mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. In der Lösung steht, dass man einfach eine Unbekannte, z.B. 1 wählen kann.

Ich versteh nicht, wieso man das einfach so tun kann. Wer kann es mir erklären?
Prsa Auf diesen Beitrag antworten »
Komponente des Normalenvektors nicht festgelegt
Hallo,

am schnellsten am Beispiel erklärt:

Wenn ein gesuchter Normalenvektor der Ebene sich als ergeben würde, dann wäre ebenfalls ein Normalenvektor, weil auch dieser rechtwinklig zu derselben Ebene stünde.

Beiden Vektoren ist gemeinsam, dass sie Vielfache voneinander sind.
Statt
kann man genauso einen angeben, bei dem eine Komponente z. B. -1 ist:


Bei diesem ist die dritte Komponente gleich 1:


Bei diesem ist die zweite Komponente gleich 1:


Alle diese Vektoren sind parallel zueinander, und es ist immer möglich, eine Komponente gleich 1 zu setzen. Einfach, weil man mit 1 weniger Rechenarbeit hat.
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Anzumerken wäre noch, dass man im allgemeinen nicht irgendeine Komponente eins setzen kann, sondern nur solche, die einen Wert ungleich Null haben. So ist bsp. die x-y-Ebene niemals durch einen Normalenvektor mit x- oder y-Koordinate eins beschreibbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist Normalenvektor der Ebene, dann ist es für beliebig reelle ebenfalls.

Erst durch eine Normalisierung, d.h. bei Wahl von wird dieser Vektor fast eindeutig: Man kann immer noch die Richtung wechseln, denn mit ist auch ein normalisierter Normalenvektor derselben Ebene (das geht in Richtung HNF).

Zitat:
Original von Sachar
In der Lösung steht, dass man einfach eine Unbekannte, z.B. 1 wählen kann.

Im Grunde genommen richtig, allerdings kann man nicht in allen Fällen eine beliebige der drei Unbekannten derart festlegen, in einigen Fällen ist man da eingeschränkt - Beispiel:

Für die Ebene haben alle möglichen Normalenvektoren der Struktur . Keiner dieser Normalenvektoren kann gefunden werden, wenn man die zweite Komponente einfach per 1 festlegt. Augenzwinkern

EDIT: Upps, da ist in 5 Minuten aber viel passiert. Na egal, ich lass es mal stehen, und trage so zum Brei der vielen Köche bei.
Prsa Auf diesen Beitrag antworten »

Nebenbei ist
Zitat:
ein LGS mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten.
unterbestimmt, bei dem
Zitat:
man einfach eine Unbekannte
wählen kann, egal, ob der Zweck dieses Gleichungssystems war, einen Normalenvektor zu einer Ebene auszurechnen, oder etwas ganz anderes (möglicherweise ganz unabhängig von Vektorrechnung).

Vielleicht ist diese freie Wahlmöglichkeit auch schon im Zusammenhang mit der Bestimmung von Richtungsvektoren vorgekommen, bei denen es auch nicht darauf ankommt, wie lang sie sind.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

So wie du es schreibst geht es um die Schnittmenge zweier Ebenen in Koordinatenform.
Das normale Ergebnis ist eine Gerade im Raum. Diese Gerade benötigt die Parameterdarstellung.
Beispiel:
die 2. Gleichung im LGS sähe nach Gauß wiefolgt aus:


, dann ist der Wert von unerheblich, man könnte auch wählen. Wenn man das macht, wird Gleichung 2 zu


in Gleichung 1 rückt somit auch nach rechts.
Dadurch entsteht ein LGS mit 2 Variablen das man exakt lösen kann.
Als Ergebnis erhält man Beispielsweise dann soetwas wie





prima ! Das hat nur einen Haken: Es ist nur ein Punkt der Geraden!

Ergo: man benennt
um.

Damit ergibt sich eine unendliche Lösungsmenge die die Gerade darstellt.
Sachar Auf diesen Beitrag antworten »

Danke an alle für die Antworten! Ich habs kapiert.
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