Konvergenz einer Reihe

13.02.2017, 17:08

Sito

Konvergenz einer Reihe

Hallo zusammen

Ich soll eine Reihen auf Konvergenz untersuchen, doch leider fehlt mir hier ein bisschen der Ansatz. Die zu untersuchende Reihe ist:

$\begin{align*} \displaystyle \sum\limits_{3}^{\infty} \frac{1}{(\log(k))^{\log\log k}} \end{align*}$

Soweit ich das verstanden habe soll es bei der Aufgabe um den Integraltest für Reihen gehen, leider verstehe ich nicht ganz wie man das hier anwenden muss bzw. habe ich keine Ahnung wie ich das Integral lösen soll, dass durch diesen Test entsteht...

Wäre für ein paar Ratschläge dankbar,
Gruss Sito

13.02.2017, 17:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Um es auf den Punkt zu bringen: Du hast Probleme das Integral $\begin{align*} \int\limits_3^{\infty} (\ln(x))^{-\ln(\ln(x))} ~ \dd x \end{align*}$ zu berechnen bzw. abzuschätzen? Substitutiere doch mal $\begin{align*} t=\ln(x) \end{align*}$ ...

14.02.2017, 14:55

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Das Problem ist, dass ich irgendetwas falsch mache bei der Substitution. Wenn ich das einfach so direkt substituiere erhalte ich $\begin{align*} \int\limits_3^{\infty} t^{-\ln t} ~\dd x \end{align*}$ . Jetzt müsste ich aber das $\begin{align*} \dd x \end{align*}$ noch irgendwie durch ein $\begin{align*} \dd t \end{align*}$ mit einem Korrekturfaktor ersetzten, was ich leider nicht hinbekomme.

14.02.2017, 15:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sito
Jetzt müsste ich aber das $\begin{align*} \dd x \end{align*}$ noch irgendwie durch ein $\begin{align*} \dd t \end{align*}$ mit einem Korrekturfaktor ersetzten, was ich leider nicht hinbekomme.

Das ergibt sich aus der Substitution $\begin{eqnarray*} x = e^t \end{eqnarray*}$ . Bestimme $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$ und stelle nach "dx" um. smile

14.02.2017, 15:08

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Also gilt dann $\begin{align*} x={\rm{e}}^t \Rightarrow \dd x = {\rm{e}}^t \dd t \end{align*}$ ? Dann müsste man noch folgendes Integral lösen: $\begin{align*} \int\limits_3^{\infty}{\rm{e}}^t \cdot t^{-\ln t} \dd t \end{align*}$ . Kann da vlt. jemand kurz drüber schauen bevor ich mich daran mache?^^

14.02.2017, 15:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss es nicht unbedingt ausrechnen, es reicht auch abschätzen. Und in dem Zusammenhang hilft evtl.

$\begin{align*} t^{-\ln(t)}\cdot e^t = \left( e^{\ln(t)}\right)^{-\ln(t)} e^t = e^{t-(\ln(t))^2} \end{align*}$ .

Es geht also um die Frage Konvergenz/Divergenz von Integral $\begin{align*} \int\limits_{\ln(3)}^{\infty} e^{t-(\ln(t))^2} ~ \dd t \end{align*}$ .

P.S.: Die untere Integrationsgrenze $\begin{align*} x_u=3 \end{align*}$ wird durch diese Substitution zu $\begin{align*} t_u=\ln(3) \end{align*}$ . Ist zwar nicht wesentlich für die Konvergenzfrage hier, gehört aber der Ordnung halber dazu.

14.02.2017, 16:41

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Abschätzen funktioniert leider nicht so ganz... Das einzige was mir in den Sinn kommt ist

$\begin{align*} \int\limits_{\ln(3)}^{\infty} e^{t-(\ln(t))^2} ~ \dd t \le \int\limits_{\ln(3)}^{\infty} e^t ~ \dd t \end{align*}$

Wobei das zweite Integral divergiert. Ich müsste doch aber ein Integral finden, dass kleiner ist und divergiert, oder eins das grösser ist und konvergiert um eine Aussage über das eigentliche Integral treffen zu können, oder nicht?

14.02.2017, 16:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sito
Ich müsste doch aber ein Integral finden, dass kleiner ist und divergiert

Das suchen wir. Man kann z.B. nachweisen, dass $\begin{align*} \sqrt{t}\geq \ln(t)\geq 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t\geq 1 \end{align*}$ gilt (*), und somit $\begin{align*} t-(\ln(t))^2\geq 0 \end{align*}$ für diese $\begin{align*} t \end{align*}$ gilt. Es folgt unmittelbar

$\begin{align*} \int\limits_{\ln(3)}^{\infty} e^{t-(\ln(t))^2} ~ \dd t \geq \int\limits_{\ln(3)}^{\infty} e^0 ~ \dd t = \int\limits_{\ln(3)}^{\infty} 1 ~ \dd t = \infty \end{align*}$ .

Eine Beweisidee für (*) ? Oder eine andere Idee des Nachweises der Integraldivergenz?

14.02.2017, 17:21

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also das Vorgehen verstehe ich. Man muss aber zuerst noch zeigen, dass $\begin{align*} \sqrt{t}\ge \ln(t) \end{align*}$ gilt?

Naja, ich versuche es mal:

$\begin{align*} \sqrt{t}\ge \ln(t) \Leftrightarrow e^{\sqrt{t}}\ge t \end{align*}$ . Weiter ist $\begin{align*} e^{\sqrt{t}}= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{t}^k}{k!} \end{align*}$ und $\begin{align*} e^{\sqrt{t}} \end{align*}$ lässt sich nach unten mit $\begin{align*} e^{\sqrt{t}} \ge 1+ \sqrt{t} \end{align*}$ abschätzen.

Zu zeigen ist ja $\begin{align*} e^{\sqrt{t}} \ge t \Leftrightarrow \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge 1 \Rightarrow \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge \frac{1+\sqrt{t}}{t} \Leftrightarrow e^{\sqrt{t}} -1 -\sqrt{t}\ge 0 \Leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{t}^k}{k!} -1-\sqrt{t}\ge 0 \Leftrightarrow 1 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{t}^k}{k!} -1 - \sqrt{t} \ge 0 \Leftrightarrow \underbrace{\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{t}^k}{k!}}_{\ge 0}- \underbrace{\sqrt{t}}_{\ge 0} \ge 0 \end{align*}$

Funktioniert das so? verwirrt

14.02.2017, 17:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sito
$\begin{align*} \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge 1 \Rightarrow \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge \frac{1+\sqrt{t}}{t} \end{align*}$

Verstehe ich nicht: Rechts steht was, was du in Zeile vorher begründet hast, und das ist auch richtig. Zum Nachweis der Behauptung wäre an der Stelle aber

$\begin{align*} \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge 1 \stackrel{?}{\Leftarrow} \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge \frac{1+\sqrt{t}}{t} \end{align*}$

erforderlich - wobei ich nicht sehe, wie dieser Schluss zustande kommen soll. verwirrt

Ich hatte an was ganz einfaches gedacht: Kurvendiskussion der Funktion $\begin{align*} f(t)=\sqrt{t}-\ln(t) \end{align*}$ für $\begin{align*} t>0 \end{align*}$ .

Da ist $\begin{align*} f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}-\frac{1}{t} = \frac{\sqrt{t}-2}{2t} \end{align*}$ , also mit Nullstelle $\begin{align*} t_0=4 \end{align*}$ . Weiterhin ist dann offenbar $\begin{align*} f'(t)<0 \end{align*}$ für $\begin{align*} 0<t<4 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f'(t)>0 \end{align*}$ für $\begin{align*} t>4 \end{align*}$ . Somit ist $\begin{align*} t_0 \end{align*}$ globale Minimumstelle, folglich ist $\begin{align*} f(t)\geq f(t_0) = \sqrt{4}-\ln(4) = 2-2\ln(2) > 0 \end{align*}$ , und damit auch $\begin{align*} \sqrt{t} > \ln(t) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t>0 \end{align*}$ .

Es gibt aber sicher zig andere Wege.

EDIT: $\begin{align*} g \end{align*}$ durch $\begin{align*} f \end{align*}$ ersetzt.

14.02.2017, 17:58

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{align*} \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge 1 \stackrel{?}{\Leftarrow} \frac{e^{\sqrt{t}}}{t}\ge \frac{1+\sqrt{t}}{t} \end{align*}$

Ich sehe das Problem. Die Überlegung war hier: Wenn $\begin{align*} e^{\sqrt{t}}\ge 1+ \sqrt{t} \end{align*}$ gilt so muss auch $\begin{align*} \frac{e^{\sqrt{t}}}{t} \ge \frac{1+\sqrt{t}}{t} \ge 1 \end{align*}$ gelten, aber ich sehe das Problem dabei...

Zitat:

Somit ist $\begin{align*} t_0 \end{align*}$ globale Minimumstelle, folglich ist $\begin{align*} f(t)\geq f(t_0) = \sqrt{4}-\ln(4) = 2-2\ln(2) > 0 \end{align*}$ , und damit auch $\begin{align*} \sqrt{t} > \ln(t) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t>0 \end{align*}$ .

Nur nochmal zum Verständnis, du zeigst, dass für die globale Minimumsstelle $\begin{align*} \sqrt{t_0}\ge \ln(t_0) \end{align*}$ gilt. Wie kannst du dann aber daraus schliessen, dass es auch für $\begin{align*} t \in \{1,2,3\} \end{align*}$ gilt ?

14.02.2017, 18:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ok, hast du nicht begriffen. Dann vielleicht noch etwas ausführlicher kommentiert:

Zitat:

Somit ist $\begin{align*} t_0 \end{align*}$ globale Minimumstelle, folglich ist $\begin{align*} f(t)\geq f(t_0) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t>0 \end{align*}$ . Weil zudem $\begin{align*} f(t_0)=f(4) = \sqrt{4}-\ln(4) = 2-2\ln(2) > 0 \end{align*}$ ist, gilt dann auch $\begin{align*} f(t)>0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} t>0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} \sqrt{t} > \ln(t) \end{align*}$ .

EDIT: Äh ja, ich hab dummerweise mit $\begin{align*} g \end{align*}$ angefangen ... es sollen natürlich $\begin{align*} g \end{align*}$ und $\begin{align*} f \end{align*}$ die ganze Zeit identisch sein. Hammer

19.02.2017, 13:54

Sito

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an der Stelle für die Erklärung, ist soweit denke ich klar!

Nun wollte ich eine ähnliche Aufgabe wie diese lösen, habe aber ein Problem mit dem Abschätzen. Sei $\begin{align*} \sum\limits_{k=3}^{\infty}\frac{1}{(\ln(k))^{\ln(k)}} \end{align*}$ die auf Konvergenz zu prüfende Reihe.

Analog zur ersten Aufgabe habe ich dann das Integral aufgestellt und die Substitution $\begin{align*} t=\ln(x) \end{align*}$ durchgeführt. Damit bin ich dann $\begin{align*} \int\limits_{\ln(3)}^{\infty}t^{-t}\cdot {\rm{e}}^t \dd t = \int\limits_{\ln(3)}^{\infty}{\rm{e}}^{t(1-\ln(t))} \dd t \end{align*}$ gekommen. Leider sehe ich jetzt nicht ganz wie man das am besten abschätzen soll um das Integral zu lösen.

19.02.2017, 14:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier würde ich eher so argumentieren: Für $\begin{align*} t\geq e^2 \end{align*}$ kann man abschätzen

$\begin{align*} t^{-t}\cdot e^t \leq e^{-2t}\cdot e^t = e^{-t} \end{align*}$ ,

damit konvergiert das Integral.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer Reihe

Verwandte Themen