Viererkalkül

13.02.2017, 22:26	Sabbse922	Auf diesen Beitrag antworten »
Viererkalkül Guten Abend Ein <math>A_i</math> ein Tupel, der sich bei einer Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} A'_i = \frac{\partial x'^i}{\partial \alpha} A_\alpha \end{eqnarray}$ transformiert, ist die Koordinatendarstellung eines Vektors. Wie stellt man die Längeninvarianz des Vektors sicher? Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|A\|=\|A'\| \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} \|A\| \end{eqnarray}$ die Länge des Vierervektors ist. Leider finde ich keine Definition für die Länge eines Vierervektors, sondern nur für das Längenquadrat [/latex]A^2=A_\mu A^\mu[/latex] Mfg
14.02.2017, 09:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das Betragsquadrat eines Vektors bei einer Transformation invariant ist, so auch der Betrag selbst. Das Betragsquadrat eines Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ ist allgemein das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec x\cdot G\vec x \end{eqnarray}$ . Dabei ist G eine symmetrische Matrix, die man als Metrik bezeichnet. Im euklidischen Raum ist die Metrik G speziell die Einheitsmatrix. Im Viererkalkül werden die "normalen" Vektoren oben indiziert, also $\begin{eqnarray} \vec x=x^i \end{eqnarray}$ . Zwecks Abkürzung führt man auch unten indizierte Vektoren $\begin{eqnarray} G\vec x=x_i \end{eqnarray}$ ein, wodurch die störende Metrik unterdrückt wird. Damit vereinfacht sich die Schreibweise des obigen Betragsquadrates wie folgt $\begin{eqnarray} \underbrace{\vec x}_{x^i}\cdot \underbrace{G\vec x}_{x_i}=x^ix_i \end{eqnarray}$ Dieses Skalarprodukt bleibt bei gewissen Transformationen konstant - z.B. bei Lorentztranformationen. Angenommen wir machen eine Lorentztransformation L gemäß $\begin{eqnarray} \vec x'=L\vec x \end{eqnarray}$ oder umgekehrt $\begin{eqnarray} \vec x=L^{-1}\vec x' \end{eqnarray}$ . Einsetzen in das obige Skalarprodukt ergibt das Betragsquadrat $\begin{eqnarray} \vec x\cdot G\vec x=\underbrace{L^{-1}\vec x'}_{\vec x}\cdot G\underbrace{L^{-1}\vec x'}_{\vec x}=L^{-1}\vec x'\cdot GL^{-1}\vec x'=\vec x'\cdot \underbrace{L^{T-1}GL^{-1}}_{G'}\vec x'=\vec x'\cdot G'\vec x' \end{eqnarray}$ Vergleich beider Seiten ergibt für die beteiligten Matrizen folgende Forderung $\begin{eqnarray} G=L^{T-1}GL^{-1} \end{eqnarray}$ ----------------------------------------------------- Beispiel: Lorentztransformation mit einer Zeit- und einer Ortskoordinate In diesem Falle lauten die beteiligten Matrizen wie folgt: $\begin{eqnarray} G=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=L^{T}=\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \beta \\ -\gamma \beta & \gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L^{-1}=L^{T-1}=\begin{pmatrix} \gamma & \gamma \beta \\ \gamma \beta & \gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier wurden die Abkürzungen $\begin{eqnarray} \beta =\tfrac{v}{c} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma = \tfrac{1}{\sqrt{1-\beta ^2}} \end{eqnarray}$ verwendet. Wie man leicht nachprüfen kann, gilt in der Tat $\begin{eqnarray} G=L^{T-1}GL^{-1} \end{eqnarray}$

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