Kombinatorik: Mögliche Anordnungen vs. mögliche Anzahl

13.02.2017, 23:11

aapdf

Kombinatorik: Mögliche Anordnungen vs. mögliche Anzahl

Hallo Community

Peinlich, peinlich aber ich muss mit folgendem Problem auf eure Hilfe zurückgreifen.

In einem Buch von E. Schrödinger habe ich folgenden Satz gelesen:

"Die zwei verschiedenen Zeichen, Punkt und Strich, gestatten in Vierergruppen bereits dreissig verschiedene Abwandlungen."

Die mathematische Darstellung hiervon wäre m.E:
(2^1)+(2^2)+(2^3)+(2^4)=2+4+8+16=30

womit das Ergebnis mit dem Zitat übereinstimmt.

In einem weiteren Satz steht sodann:

"Wenn man neben Punkt und Strich noch ein drittes Zeichen benützt und Zehnergruppen zulässt, kann man 29524 verschiedene 'Buchstaben' bilden..."

Die mathematische Darstellung hiervon wäre wohl:
(3^0)+(3^1)+(3^2)+(3^3)+(3^4)+(3^5)+(3^6)+(3^7)+(3^8)+(3^9)=
1+3+9+27+81+243+729+2187+6561+19683=29524

Das durch mich erzielte Ergebnis stimmt also durchaus mit demjenigen im Buch überein, nur WEISS ICH NICHT WIESO?

Die erste Rechnung ist doch ein Fall von Kombinatorik (Variation mit Zurücklegen).

Doch um was handelt es sich im zweiten Fall? Eigentlich wollte ich den Begriff "Zehnergruppe" als Fall von (3^1)+.....(3^10) interpretieren, merkte dann aber pronto, dass dies betragsmässig weit über das genannte Ergebnis von 29524 hinausschiesst, jedoch (3^0)+...(3^9) ans Ziel führt.

Dennoch habe ich keinen Plan was ich im zweiten Fall eigentlich genau mache bzw. wie sich dieser vom ersten unterscheidet. Warum beginne ich hier bei (3^0) und vorstehend bei (2^1)???

Danke für Eure Hilfe.

14.02.2017, 04:03

Dopap

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unter "Abwandlungen" versteht er alle Wörter der Länge k=1 bis 4 aus dem Zeichenvorrat
$\begin{eqnarray*} V=\{\cdot\, , \,-\} \end{eqnarray*}$ die selbst wieder ein Alphabet bilden.
Das ist der Morse-Code, der im Englischen ein Minimum an Redundanz bietet.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^4\, 2^k=30 \end{eqnarray*}$ = Summe von Variationen mit Wiederholungen.

Und jetzt ist der Schritt mit dem Zeichenvorrat

$\begin{eqnarray*} V=\{\cdot \,,\,-,\,+\} \end{eqnarray*}$ doch vorgezeichnet. Die möglichen Wörter sind dann schwerlich noch als Alphabet zu interpretieren,
sondern als Abbildung $\begin{eqnarray*} V^{(10)} \to W^{(n)} \end{eqnarray*}$

Handelt es sich um den Erwin Schrödinger , dessen Namen eine berühmte Formel trägt?

14.02.2017, 10:08

aapdf

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Zitat:

Handelt es sich um den Erwin Schrödinger , dessen Namen eine berühmte Formel trägt?

Genau: Erwin - Mr. Halbtote Katze - Schrödinger. Das Buch heisst " Was ist Leben?"

Leider muss ich dich um eine Erläuterung deiner Aussage bitten.

Ich verstehe deine Aussage auf sprachlicher Ebene, dennoch bin ich wohl zu beknackt den Weg von Schritt 1 zu Schritt 2 mathematisch zu gehen.

Mit Schritt 1 ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{4} 2^k = 30 \end{eqnarray*}$ gemeint.
Mit Schritt 2 deine 2. Aussage

Würdest du mir dies bitte vorzeichnen / vorkauen...

Danke

14.02.2017, 11:08

aapdf

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bzw. stellt sich mir die frage, wieso beim Buchstabenvorrat bei Exponent 0 gestartet wird?

hoch 0 ergibt 1, was ich weiss (aber auch nicht wirklich erklären könnte).

vielleicht könntest du das einfach ein bisschen ausführlicher beschreiben.

besten dank.

14.02.2017, 11:30

Dopap

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im 2.Fall ist die Anzahl $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{10} 3^k \end{eqnarray*}$ gemeint.
Das ist eine endliche geometrische Reihe. Dein Summenglied $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ entfällt, da das nicht als Anzahl von einem Wort der Breite Null zählt. Die Summation sollte aber bis k=10 und nicht bis k=9 gehen. Insofern stimmt das nicht mit dem Buch überein.

Im 1. Fall spricht er ja von Abwandlungen statt von Buchstaben, im 2. Fall sind doch ca. 90000 Buchstaben etwas übertrieben. Gut, wenn man alle Sprachen und alle Zeichen zusammenfasst, dann kommt schon eine erkleckliche Anzahl zusammen, nur sind z.B. chinesische Zeichen nicht atomar sondern selbst schon Worte.

14.02.2017, 14:12

aapdf

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{10} 3^k \end{eqnarray*}$

genau diese "Berechnung" habe ich eben auch aufgestellt und war dann eben erstaunt, dass im Buch von 29524 und nicht 88572 die Rede ist. Denn wäre im Buch 88572 gestanden, hätte ich etwas früher ins Bett gekonnt. Denn genau wie du im deinem Lösungsweg beschreibst, ging ich bis k=10.

Was ich aber leider weiterhin nicht begreife ist, warum er nur bis k=9 geht und dann eben k=0 auch noch mit einbezieht???

Und was genau meinst du mit

Zitat:

Insofern stimmt das nicht mit dem Buch überein.

Irgendwas muss der gute Mann sich ja gedacht haben ---> ich versteh einfach nicht was...

Der erste Fall ("Abwandlungen") beschreibt m.E. Veränderungen von etwas Bestehendem - also einen Anwendungsfall von Variation mit Zurücklegen, wogegen mir beim zweiten Fall ("verschiedene Buchstaben bilden") nicht klar ist, was eigentlich gesucht wird bzw. wie der mathematische Term aussehen soll. Offensichtlich meint Schrödinger etwas anderes, ansonsten er nicht auf ein Ergebnis von 29524 kommen würde und dabei Exponent 0 berücksichtigt.

Für weitere Erläuterungen bin ich sehr dankbar.

14.02.2017, 16:34

Dopap

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die n-te Partialsumme einer geometrischen Reihe ist

$\begin{eqnarray*} s_n=a_0+a_0q+a_0q^2+a_0q^3+\cdots +a_0q^n=\sum_{k=0}^n\, a_0q^k=a_0\sum_{k=0}^n q^k=a_0\frac {q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

in unserer Reihe "fehlt" das $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und der Index läuft von 1 bis 10.

Um das anzupassen setzten wir $\begin{eqnarray*} a_0=3 \end{eqnarray*}$ und der Index läuft dann von von 0 bis 9.

$\begin{eqnarray*} s_9=3\sum_{k=0}^9 3^k \end{eqnarray*}$

daher steht im Buch n=9 , und die $\begin{eqnarray*} 1 \, \,\text{als} \quad 3^0 \end{eqnarray*}$ ist nun auch erklärt. Leider scheint der Faktor $\begin{eqnarray*} \color{red}a_0=3 \end{eqnarray*}$ abhanden gekommen zu sein.

folglich ist

$\begin{eqnarray*} s_9=3\frac {3^{10}-1}{3-1} \end{eqnarray*}$ richtig. Was ergibt das ?

Zwischen Script und fertigem Drucksatz waren früher viele Hände beteiligt...

14.02.2017, 22:28

aapdf

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} s_9=3\frac {3^{10}-1}{3-1} \end{eqnarray*}$ richtig. Was ergibt das ?

88572

Zitat:

in unserer Reihe "fehlt" das $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und der Index läuft von 1 bis 10.
Um das anzupassen setzten wir $\begin{eqnarray*} a_0=3 \end{eqnarray*}$ und der Index läuft dann von von 0 bis 9.

$\begin{eqnarray*} s_9=3\sum_{k=0}^9 3^k \end{eqnarray*}$

koenntest du dies - wenn möglich - etwas laienverständlicher formulieren... (siehe unten)

Zitat:

daher steht im Buch n=9 , und die $\begin{eqnarray*} 1 \, \,\text{als} \quad 3^0 \end{eqnarray*}$ ist nun auch erklärt. Leider scheint der Faktor $\begin{eqnarray*} \color{red}a_0=3 \end{eqnarray*}$ abhanden gekommen zu sein.

hier müsstest du dich bitte nochmals erklären - analog oben. warum ist 3^0 geklärt? resp. wie und wo ist 3^0 abhanden gekommen. beim ergebnis von 29524 ist die 1 - also 3^0 - ja inkludiert.

also einen teil deiner ausführungen - besonders bezüglich des aufbaus der geometrischen reihe habe ich wohl verstanden.

$\begin{eqnarray*} s_n=3+3*3+3*3^2+3*3^3+............. \end{eqnarray*}$

was mir aber weiterhin nicht klar ist, weshalb a_0 = 3 "abhanden" gekommen sein soll resp. wieso man anstatt von 1 - 10 von 0 - 9 geht und nicht wie im ersten Beispiel (Ergebnis 30) mit ^1 beginnt????

14.02.2017, 23:09

Dopap

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der Autor wollte die richtige Reihe von $\begin{align*} 3 \,\text{bis}\, 3^{10} \end{align*}$ auf jene Form bringen die der Formel angepasst ist um die Formel anwenden zu können:

$\begin{align*} \overbrace {3^1+3^2+ 3^3 + \cdots +3^{10}}^{\text{Ausgangsreihe}}={\color{red}3}\cdot \overbrace{\bigg(\underbrace{ 3^0}_{=1}+3^1+3^2+\cdots + 3^9\bigg)}^{\text{deine Reihe}} \end{align*}$

wenn man nun die Klammer mit oder ohne Formel berechnet darf man den Faktor 3 nicht vergessen! Jetzt klar ?

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nebenbei: Schrödingers Katze gefiel dem Physiknobelpreisträger Murrai Gell-Mann gar nicht, weil die Katze kein Quantensystem ist. Augenzwinkern

15.02.2017, 09:05

aapdf

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RE: Kombinatorik: Mögliche Anordnungen vs. mögliche Anzahl
Für deine Ausführungen danke ich mal wieder. Ich merke, dass ich absolut kein Zahlengefühl habe, da mir nicht auffiel, dass 88572 das Dreifache von 29524 ist... Und die Darstellung mit dem vorgestellten Faktor (i.c. 3) war auch sehr hilfreich.

Dennoch nochmals eine Nachfrage: Verstehe ich dich richtig wenn ich sage, dass das korrekte Ergebnis eben doch 88572 wäre und NICHT 29524, da "verschiedene 'Buchstaben' bilden..." ebenfalls einen Fall von Variaton mit Zurücklegen darstellt?

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Katzen mögen kein Quantensystem sein, doch auch Schrödinger erkannte, dass die meisten Menschen stark auf feline Reize ansprechen und ihre Aufmerksamkeit dementsprechend viel einfacher zu gewinnen ist ;-)

15.02.2017, 13:57

Dopap

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RE: Kombinatorik: Mögliche Anordnungen vs. mögliche Anzahl

Zitat:

Original von aapdf
[...]
Dennoch nochmals eine Nachfrage: Verstehe ich dich richtig wenn ich sage, dass das korrekte Ergebnis eben doch 88572 wäre und NICHT 29524, da "verschiedene 'Buchstaben' bilden..." ebenfalls einen Fall von Variaton mit Zurücklegen darstellt ?

genau so ist es!

Ja, man kann mit 3 Zeichen 88572 Wörter der Länge 1 bis 10 bilden.

15.02.2017, 15:36

aapdf

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Lieber Dopap

Für deine umfassenden Bemühungen möchte ich mich bedanken. Deine Ausführungen haben mir sehr geholfen, auch wenn ich zuweilen nachfragen musste.

Einiges wurde klarer, obwohl mir natürlich vorgeführt wurde, wie wenig Ahnung von Mathe ich noch habe.

Auf jeden Fall haben mich deine Kommentare dazu animiert, das Buch "Das Quark und der Jaguar" von Murray Gell-Mann zu kaufen.

Somit waren diese Hilfeseite und deine Erklärungen auf jeden Fall eine Bereicherung.

Besten Dank

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