Notation f^2

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zinR Auf diesen Beitrag antworten »
Notation f^2
Hi,

ich stehe gerade vor einer Aufgabe, die so in einer Klausur bei einem anderen Prof. gestellt wurde:

"Für sei eine Folge stetiger Funktionen von nach , die gleichmäßig gegen konvergiert. Beweise, dass dann die Funktionenfolge gleichmäßig gegen konvergiert."

Mein Problem ist nun, dass im Sinne von - also die Notation, so wie ich sie kenne - hier wenig Sinn macht, oder?
Wird hier mit der Multiplikation auf gesetzt?

Was ist der Standard bei dieser Notation?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation f^2
Das hängt vom Kontext ab. Wie du begründet hast ist eine Verkettung hier nicht sinnvoll, daher wird die Multiplikation gemeint sein. Generell ist diese Notation in der Analysis häufiger, während in der Linearen Algebra häufiger mit Verkettungen als Multiplikationen gearbeitet wird.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation f^2
Hmm, ok. Danke dir für die schnelle Antwort smile
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation f^2
Leider komme ich bei der Aufgabe trotzdem nicht bis zum Ende durch...

Wie kann ich sinnvoll abschätzen? Ich habe zunächst an gedacht, wobei ich mit der gegebenen gleichmäßigen Konvergenz den ersten Faktor klein kriege.

Ich habe aber das Gefühl, dass ich hier auf dem Holzweg bin. Wie nutze ich die Stetigkeit, die gegeben wird?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Notation f^2
Die Stetigkeit brauchst du unter anderem, damit der zweite Faktor gleichmäßíg beschränkt bleibt. Ist also genau der richtige Weg.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In Ergänzung dessen ein Beispiel, warum es z.B. mit statt nicht klappt:

Wir betrachten auf dem Intervall , diese Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen auf diesem Intervall.

Das Quadrat konvergiert zwar punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen . Augenzwinkern
 
 
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend habe ich das Thema noch nicht einmal im Ansatz verstanden. Wie kann ich mir das intuitiv vorstellen?

Warum würde es bei auf dem Intervall dann klappen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil auf der zweite Faktor gleichmäßig beschränkt bleibt - in meinem Beispiel auf dem vollen Intervall hingegen nicht.

Jetzt verabschiede ich mich aber wieder, wollte nur das Beispiel anbringen und ansonsten nicht IfindU ins Handwerk pfuschen. Wink
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche es doch mal per Definition nachzurechnen. An einer Stelle wird gefährlich wenn klein, s.d. groß werden darf.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre die Zielmenge , so würde dann wohl der Satz vom Maximum greifen? Tatsächlich ist bei uns im Skript als Beispiel angegeben.
Mag sein, dass der Prof. damals diesen Satz auf erweitert hat? Das macht jetzt auch intuitiv Sinn - auch auf - wenn man den Betrag betrachtet.

Also wäre die Lösung der Aufgabe:

Da , ist auch stetig, also finden wir , sodass , und das liefert dann die Abschätzung, korrekt?

Edit: Gerade bemerke ich, dass ich gestern schon eine nützliche Aufgabe dazu hatte (auch hier habe ich im Board nachgefragt.)
Letztlich ist das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion auch kompakt, d.h. insbesondere abgeschlossen und beschränkt. Das hätte mir ebenfalls die Lösung gegeben, nicht wahr?
Nochmal Edit: Quatsch, gilt natürlich auch nur auf .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens: Der Satz vom Maximum gilt nicht auf , da es dort keine Ordnung gibt um ein Maximum zu definieren. Aber ist stetig, da stetig ist und darauf kann man den Satz benutzen.

Du hast noch ein Problem: Dein hängt von ab, das könnte Probleme bereiten.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es vielleicht eine gute Idee, das ganze so abzuschätzen?

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man so machen. So zeigt man auch, dass wenn gleichmäßig gegen konvergiert, und beschränkt ist, so ist auch beschränkt (in und ).
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke Dir!

In einer echten Klausur hätte ich hier offensichtlich versagt. Hast Du diese Lösung direkt vor Augen gehabt, als Du meine Frage gelesen hast? ... Gerade als Klausuraufgabe hätte das ja (auch für mich) relativ schnell machbar sein müssen. :/
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe genau so viel gesehen wie du: Binomische Formel ist eine gute Idee. Mein einziger Vorteil war, dass ich dann den mathematischen Satz meines letztens Post parat hatte. Alles was ich dann noch zu tun habe ist zu überlegen, dass eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist (als gleichmäßiger Grenzwert stetiger Funktionen), und damit beschränkt.

Im übrigen kann man so leicht sehen, dass man Stetigkeit von nicht wirklich braucht, nur Beschränktheit. Dann kann man auch auf die Voraussetzung des Kompaktums verzichten und jede beliebige Menge als Definitionsgebiet nehmen.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, macht Sinn. Danke nochmal! smile
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