Determinante einer Hankel-Matrix

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer Hankel-Matrix
(auch wenn vermutlich niemand wirklich Lust hat einen solch langen Post zu lesen ( Big Laugh ) ist meine Frage inhaltlich sehr kurz und vermutlich leicht beantwortet. Insgesamt will ich erstmal 1. beweisen. Dazu habe ich bereits eine Diskriminante berechnet (der Richtigkeit bin ich mir nicht eindeutig sicher) die Diskriminante des Minimalpolynoms ist noch eine Hürde.)

Hallo allerseits,

insgesamt geht es mir darum den Beweis der Proposition 4.4.4 von Silvermans "A course in computational algebraic number theory" durchzuführen. Dieser besagt

Sei ein normiertes, irreduzibles Polynom vom Grad . Weiter seien eine Nullstelle von und ein [[Zahlkörper]]. Weiter bezeichne bzw. die Diskriminante von bzw. . Dann ist
  1. und
  2. falls , dann gilt .


Dabei ist eine Basis von und per Definition das Minimalpolynom von . D.h. der Grad der Körpererweiterung ist .

Zu 1. hat Silverman ab Def. 3.3.3 viele verschiedene Formen einer Diskriminante eingeführt. U.A. definierte er die Diskriminante einer Menge als


Identifiziere ich nun die Menge M mit der oben angegebenen Basis, und entsprechend für , dann ergibt sich:


Dies offenbar eine Hankel-Matrix [1] und hat die Determinante 0. Daher zunächst die Frage: Stimmt das überhaupt? Oder sollte ich einen anderen Ansatz nachgehen? (Auch mittels Gauß ist schnell zu erkennen, dass man durch das -Fache der Zeile i die Zeile i+1 auslöscht.

Viele Grüße und vielen Dank

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Hankel-Matrix
[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrimina...eine_Definition



Edit
Also nach Prop. 4.4.1 ist die Diskriminante linear-abhängiger entsprechend 0. Damit ist meine Rechnung jedenfalls dahingehend nachvollziehbar. Nun zur . Auch dafür hält Silverman in den Definitionen 3.3.2 und 3.3.3 sowie dem Lemma 3.3.4 ein paar Definitionen bereit. 3.3.4 deckt sich mit [2]. Daher beziehe ich mich jetzt mal hier auf [2] und setze entsprechend f und f' ein. Ich erhalte dann



Damit Gleichheit gilt. muss also Res(f,f')=0 gelten. Entsprechend rechne ich die Determinante in der Bemerkung bei [2] aus. Mit . Dazu ein kurzes Beispiel über WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/? i=%7...,2a_2,a_1%7D%7D
Dieses ist wohl (soweit ich nichts übersehe) ungleich 0. Offenbar führt dann dieser Ansatz nicht zum Ziel.

Hammer Ich muss dazu noch ein paar Dinge nachlesen. Die Matrix hier hat die Form einer Vandermondschen Matrix, dafür kenne ich aus einem Kurs die Determinante und ein paar Zusammenhänge..aber die muss ich erstmal wieder nachlesen. unglücklich

Btw. bei den Recherchen hiernach habe ich viele Threads im Matheboard gefunden, nahezu alle begannen oder enthielten die Wortgruppe "ich stehe auf dem Schlau" Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst nicht die Potenzen des primitiven Elements in die Matrix einsetzen. Dort müssen die Nullstellen des Minimalpolynoms stehen. Auch sollst du den Grad der Hauptordnung nicht nennen, denn das ist verwirrend.
Beispiel: mit . Die Nullstellen von sind und , die Diskriminante von ist , und weil die Hauptordnung mit übereinstimmt, ist wie es sein muss
Zur Definition der Körperdiskriminante siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante_(Algebraische_Zahlentheorie)
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Du darfst nicht die Potenzen des primitiven Elements in die Matrix einsetzen. Dort müssen die Nullstellen des Minimalpolynoms stehen. Auch sollst du den Grad der Hauptordnung nicht nennen, denn das ist verwirrend.
Beispiel: mit . Die Nullstellen von sind und , die Diskriminante von ist , und weil die Hauptordnung mit übereinstimmt, ist wie es sein muss
Zur Definition der Körperdiskriminante siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante_(Algebraische_Zahlentheorie)


Du meinst, dass verwirren kann? Ja, das stimmt. Ich habe offenbar ein paar Variablenänderungen vorgenommen und dabei nicht mehr richtig auf die Konsistenz der Änderungen geachtet. Danke für den Hinweis.

Danke für das Beispiel.

Bei deinem Link verstehe ich die gegebene Matrix mit den komplexen Einbettungen nicht ganz genau. Ich denke sind alle reellen und komplexen Einbettungen. sind eine -Basis der Maximalordnung / Hauptordnung / Ganzheitsrings . Nun brauche ich ein wenig Übersetzungshilfe in meinen Kontext.

Auf der einen Seite will ich die Diskriminante der Menge berechnen. Auf der anderen Seite hingegen möchte ich die Diskriminante des Minimalpolynoms von bestimmen. Dieses hat Nullstellen. Ich vermute, dass das Tupel aller Nullstellen von f den gleicht, also

Wenn ich mir nun den Wikipediaartikel zur Einbettung anschaue, bildet (oBdA) . Erste Frage dazu: Sehe ich das richtig, dass mein eines der ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In dem wiki-Artikel ist mit "Einbettungen in die komplexen Zahlen" sicher eine der reellen oder komplexen Einbettungen gemeint, denn wegen ist jede reelle Einbettung trivialerweise auch eine Einbettung in .

Ja, , denn die Identität ist immer ein Körperautomorphismus.

Warum du die Determinante der Potenzen von Diskriminante nennst, verstehe ich nicht. Im Gegensatz zu Polynomdiskriminanten und Körperdiskriminanten ist diese Determinante immer gleich Null und diskriminiert (dt: unterscheidet) also offenbar nichts.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum du die Determinante der Potenzen von Diskriminante nennst, verstehe ich nicht.


In [1] auf Seite 166 (pdf-Seite 184 von 563) in Proposition 4.4.4 steht das, was ich beweisen möchte. Die Disriminante einer Menge. Hier soll ich also ) berechnen. Nach Prop. 4.4.1 (S. 165) ist diese gerade 0, wenn die Einträge -linear abhängig sind. Sind also sollte es doch noch ungleich 0 sein (andererseits wäre es auch keine Körpererweiterung von )? Dort wird auch die Diskriminante einer Menge mit n Elementen definiert. (Diese wird auch so in [2] Def. 3.4.2 definiert.) Ich sehe nun übrigens meinen Fehler im Ansatz: Ich hatte mir die Diskriminante einer Menge falsch notiert. Anstelle von habe ich stehen....


[1] http://plouffe.fr/simon/math/A%20course%...20-%20Cohen.pdf

[2] http://page.math.tu-berlin.de/~kant/publ.../schweitzer.pdf


Edit:
Dann ergibt sich mit und der Notation :


Sowie

ich sehe aber noch keinen Zusammenhang, dies könnte an meiner Wahl der Definition liegen..
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Diskriminante gefällt mir schon viel besser, denn darin spielen wieder die Automorphismen eine entscheidende Rolle (oder sind es nur Homomorphismen ? ) . In meinem Beispiel ist sie von 0 verschieden, das passt, und die Menge muss -l.u. sein. Die Diskriminante einer Menge könnte auch 0 sein, dann wäre aber der Grad von kleiner als . Zum Beispiel ist und .
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Diese Diskriminante gefällt mir schon viel besser, denn darin spielen wieder die Automorphismen eine entscheidende Rolle (oder sind es nur Homomorphismen ? ) .


Es sollten Automorphismen sein, jedenfalls im Hinblick auf die theoretische Anwendung der Diskriminante bei elliptischen Kurven.

Zitat:
Original von Elvis
In meinem Beispiel ist sie von 0 verschieden, das passt, und die Menge muss -l.u. sein. Die Diskriminante einer Menge könnte auch 0 sein, dann wäre aber der Grad von kleiner als . Zum Beispiel ist und .


Jetzt könnte ich mit der Leibnizformel [1] die Determinante "berechnen", aber ich sehe noch nicht, dass hier eine allgemeine Gleichheit vorliegt. In [2] steht was dazu.. Dieser scheint die als Konjugierte von zu betrachten.
Vielen Dank nochmal für den Hinweis zu meinem Ansatzfehler smile

Ich habe mal mein altes Skript aus der Algorithmischen Zahlentheorie in Oldenburg herausgekramt. Da steht auch einiges zur Diskriminante und sollte meine Fragen klären. Ich poste später die zusammengefasste Lösung.


[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Leibniz-Formel

[2] https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/algzahl/leit2-1.pdf
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind die Konjugierten, sie sind die Nullstellen des Minimalpolynoms von . Da sie nicht alle in K liegen müssen, geht es doch eher um Homomorphismen (das steht ganz am Anfang deines Skripts). Weil und offensichtlich rational linear abhängig sind, habe ich dieses Beispiel gewählt.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Die sind die Konjugierten, sie sind die Nullstellen des Minimalpolynoms von . Da sie nicht alle in K liegen müssen, geht es doch eher um Homomorphismen (das steht ganz am Anfang deines Skripts).

Das habe ich dann auch wieder gelesen, dass es hierbei nur injektive Homomorphismen sind. Auch die Definition von "Konjugierten" kannte ich nicht mehr. Nun aber schon.

Zitat:
Original von Elvis
Weil und offensichtlich rational linear abhängig sind, habe ich dieses Beispiel gewählt.

Das hatte ich auch so verstanden smile


Ich habe nun den Beweis entsprechend voran gebracht. Zunächst hatte ich die Matrix

umgeformt. Diese Matrix ist die Vandermonde-Matrix. Ihre Determinante ist gerade


(Den Beweis dazu, dass die Determinante diese Form hat, habe ich durch vollständige Induktion über n erbracht..etwas Tricky, da man das Fache der j-ten Spalte von der (j+1)-ten Spalte subtrahiert, dadurch lässt sich dann das Produkt für i=1 und j=2,...,n abspalten. Übrig bleibt dann noch die Determinante der Induktionsvoraussetzung einzusetzen und das Produkt zusammenzuführen.)

Nun hatte ich noch versucht, die Diskriminante von f mit der Definition aus Cohen 3.3.3 zu bestimmen. Laut Wikipedia [1] definiert man für Polynome höheren Grades die Diskriminante entsprechend der obigen Geichung (1). Anhand der Definitionen aus 3.3.3 von Cohen (zwei Posts vorher in dortigem [1] verlinkt) gelingt mir aber keine Umformung, vermutlich mangels Vorwissen. Also würde ich noch den Ansatz nach Lemma 3.3.4 (die Definition als Determinante einer Matrix [2]) versuchen dazu zu nutzen. Auch in meinem Algorithmische Zahlentheorie Skript steht nur "Zur Erinnerung, die DIskriminante von f ist durch [Gl. (1)] definiert".

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante#Polynome_h.C3.B6heren_Grades
[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante#Bemerkung
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt nach Cohen 3.3.5 vorgegangen habe aber noch ein Problem, das erst in den letzten beiden Gleichungen in (*) auftaucht. Dort fehlt der Faktor und ich sehe nicht, woher dieser kommen soll. Wenn dort der Faktor hinzukommt, kürzt er sich in der Diskriminante und ich habe das, was ich haben wollte.



Behauptung: Sei vom Grad n mit Leitkoeffizient a gegeben. Weiter seien die Nullstellen von f, dann gilt:

Im Falle, dass eine der Nullstellen von [tex]f[/tex] mehrfache Nullstelle ist, sind beide Seiten identisch 0. Seien also die für paarweise verschieden. Notieren wir f in Produktschreibweise so folgt mit der Produktregel:

Betrachten wir nun weiter den Wert an der Stelle , so fallen alle Summanden weg, die den Faktor [tex](x-\alpha_i[/tex] enthalten, es ist also

Somit ist die Resultante:

Es folgt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Wikiipedia steht, dass die Diskriminante nicht ganz einheitlich definiert ist, es wird je nach Kontext eine leicht abgewandelte Definition verwendet. Siehe hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante unter dem Stichwort "Normierungsfaktor"

Siegfried Bosch "Algebra" definiert Diskriminante und Resultante normierter Polynome so, dass , und ich erkenne darin keinen Fehler also wird das wohl richtig sein.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Bei Wikiipedia steht, dass die Diskriminante nicht ganz einheitlich definiert ist, es wird je nach Kontext eine leicht abgewandelte Definition verwendet. Siehe hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante unter dem Stichwort "Normierungsfaktor"

Siegfried Bosch "Algebra" definiert Diskriminante und Resultante normierter Polynome so, dass , und ich erkenne darin keinen Fehler also wird das wohl richtig sein.


Danke, das verschweigt der Cohen aber sehr gut Big Laugh Ich habe alle seine Definitionen angewandt und bin immer auf das gleiche Ergebnis gekommen.. dieser Faktor scheint für mich im Moment noch recht willkürlich eingesetzt zu werden, wird er aber mit Sicherheit nicht.

Ich habe noch viel zu lernen geschockt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich auch im allgemeinen einer Theorie vertraue, so finde ich es doch gelegentlich zur Unterstützung dieses Vertrauens hilfreich, einfache Beispiele auf einer DIN A5 Seite zu rechnen.
Für das Polynom und seine Ableitung bekomme ich so die Diskriminante und die Resultante , also stimmt zumindest hier die Beziehung .

Solltest du einen Grund haben, der Theorie nicht zu vertrauen, oder wenn du sogar ein Gegenbeispiel hast, dann lasse es mich bitte wissen.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich die Resultante eines beliebigen, normierten Polynoms bestimme, verwende ich zunächst diese Formeln:



Über seinen Zerfällungskörper kann ich ja f faktorisieren:
nach der Produktregel folgt dann die Ableitung .

Zur Formel 1)
Für jede Nullstelle von f kann ich diesen Ausdruck nun reduzieren zu

Das setze ich nun in die Formel ein, und erhalte (wegen a=1): (hier fällt mir gerade auf, dass ich ein paar Vorzeichen ausklammern muss..daher also der (-1)^{..}..Stimmt doch, ich habe mich nur verrechnet und zu vorschnell gerechnet ^^)

Ich habe auch ein paar kleine Rechnungen angestellt (Auch mit Computerunterstützung) und bekam entsprechend richtige, d.h. formelgetreue, Ergebnisse.

Nun möchte ich 2. beweisen. Dazu sollte ich zuerst den Index Dabei fällt mir auf, dass ich noch keinerlei Vorgehensweisen hierzu kenne.
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