Majorantenkriterium Voraussetzungen

14.02.2017, 19:25

zinR

Majorantenkriterium Voraussetzungen

Hi, grade wieder etwas verwirrt.

In meinem Skript befindet sich folgende Formulierung des Majorantenkriteriums:
"Es seien $\begin{eqnarray*} a_n \geq 0, n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , sodass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert. Weiter sei $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \vert b_n \vert \leq a_n \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty b_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , und es gilt:
$\begin{eqnarray*} \vert \sum\limits_{n=0}^\infty b_n \vert \leq \sum\limits_{n=0}^\infty \vert b_n \vert \leq \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ ."

So. Jetzt meine Frage: Die Forderung, dass $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}_0 : \vert b_n \vert \leq a_n \end{eqnarray*}$ gilt, ist nur für den Wert der Reihe von Bedeutung, oder?

Es sollte doch möglich sein, die Konvergenz einer Reihe darin zu begründen, dass die Aussage für genügend große $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Edit: Und wie sieht es mit der linken Ungleichung aus?

14.02.2017, 19:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von zinR
Die Forderung, dass $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}_0 : \vert b_n \vert \leq a_n \end{eqnarray*}$ gilt, ist nur für den Wert der Reihe von Bedeutung, oder?

Es sollte doch möglich sein, die Konvergenz einer Reihe darin zu begründen, dass die Aussage für genügend große $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Das ist richtig. Wenn es nur für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt wertmäßig eben nur

$\begin{eqnarray*} \vert \sum\limits_{n=n_0}^\infty b_n \vert \leq \sum\limits_{n=n_0}^\infty \vert b_n \vert \leq \sum\limits_{n=n_0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ ,

der vordere (da fehlende) Teil $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{n_0-1} b_n \end{eqnarray*}$ kann aber an der Frage Konvergenz/Divergenz nichts ändern. Durch Indexverschiebung lässt sich das aber aus der oben von dir angegebenen Formulierung leicht folgern, insofern ist das nicht wirklich eine Einschränkung.

14.02.2017, 19:47

zinR

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Gut, Danke smile

Spricht man dann immer noch von einer Majorante?

Ich kann also auch nicht wenigstens den linken Teil der Ungleichung aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \vert b_n \vert \end{eqnarray*}$ folgern?

Edit: $\begin{eqnarray*} \vert \sum\limits_{n=0}^{n_0 -1} b_n \vert \leq \sum\limits_{n=0}^{n_0 -1} \vert b_n \vert \end{eqnarray*}$ kann ich ja aus der "endlichen Version" der Dreiecksungleichung folgern, nicht wahr?

14.02.2017, 20:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von zinR
Edit: $\begin{eqnarray*} \vert \sum\limits_{n=0}^{n_0 -1} b_n \vert \leq \sum\limits_{n=0}^{n_0 -1} \vert b_n \vert \end{eqnarray*}$ kann ich ja aus der "endlichen Version" der Dreiecksungleichung folgern, nicht wahr?

Ja.

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