Kreisbogen

15.02.2017, 10:56

meyer1910

Kreisbogen

Hallo,
ich brauche Hilfe bei der Berechnung einer Kreissehne. Ich habe allerdings nur die Höhe und die Bogenlänge vorgegeben. Lt. dem Forum konnte ich feststellen, dass ich approximieren muss um zuerst den Winkel zu berechnen. Dieses fällt mir nicht schwer, ich komme aber durch folgende Formel nicht auf das richtige Ergebins..

$\begin{eqnarray*} a1 = a0 - (b * cos (a0 / 2) - a0 * h / ( (-b/2) * sin(a0/2) - h )) \end{eqnarray*}$

Wenn ich unter ".arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreissehnen.htm" als Bogenlänge = 5 eingebe und Höhe = 1, bekomme ich den Winkel 97°..

Was mache ich falsch? verwirrt

Welchen Startwert soll ich eingeben (a0)? Ich habe es mit 90° versucht..

Sorry für die schlechte Übersicht in der Formel..

Danke und Gruß

15.02.2017, 11:09

HAL 9000

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$\begin{align*} h \end{align*}$ ist die Höhe des Kreissegments? Und du willst den Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ mit Hilfe des Newton-Verfahrens lösen? Dann ist deine angegebene Formel falsch. Nenne doch bitte zuerst mal die Bestimmungsgleichung für $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ , mit der du da arbeitest, da scheint der Wurm schon zu liegen.

Leider kann man das deiner obigen Formel nicht entnehmen, da die durch inkonsistente Klammersetzung mehr verwirrt als aufklärt.

15.02.2017, 11:24

meyer1910

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Kreisbogen
Ja. h steht für Höhe. Die Formel habe ich hier aus dem Forum.

.matheboard.de/thread.php?threadid=570195&hilight=kreissegment

Lt. online-rechner soll ich approximieren von Alpha mit:

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha/2) + h/b * \alpha= 1 \end{eqnarray*}$

Ich dachte der Ansatz aus dem Forum wäre richtig. Also die Formel:

$\begin{eqnarray*} \alpha 1 = \alpha 0 - \frac{f(\alpha 0)}{f'(\alpha 0)} = \alpha 0 - \frac{b * cos(\alpha 0 /2) - \alpha 0 * h}{-b/2 * sin(\alpha 0/2) - h} \end{eqnarray*}$

mit einem Wert in der Nähe des Ergebnis..

Sorry, aber meine Mathe-kenntnisse reichen nicht dafür aus.

15.02.2017, 11:26

Steffen Bühler

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Kurzer Einwurf: so schlimm ist es gar nicht - bei

$\begin{align*} a1 = a0 - (b * cos (a0 / 2) - a0 * h / ( (-b/2) * sin(a0/2) - h )) \end{align*}$

fehlen eigentlich nur zwei Klammern - es muss (mit etwas repariertem LaTeX) heißen

$\begin{align*} a_1 = a_0 - \frac {b * \cos \left(\frac {a_0}2 \right) - a_0 \cdot h}{ \left( - \frac b2 \right) \cdot \sin \left( \frac {a_0}2 \right) - h } \end{align*}$

Auch der Startwert 90° ist in Ordnung - wenn man ihn denn ins Bogenmaß übersetzt, also 1,57... Mit a0=90 fängt das Ganze fürchterlich an zu schwingen.

Viele Grüße
Steffen, schon wieder weg

15.02.2017, 11:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von meyer1910
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha/2) + h/b * \alpha= 1 \end{eqnarray*}$

Richtig, und das ergibt umgeformt

$\begin{align*} b\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)~{\color{red}+}~ h\alpha~{\color{red}- b} = 0 \end{align*}$ .

Ich erkenne da gewisse Abweichungen zu deinem Newton-Zählerterm... unglücklich

Richtigerweise lautet die Newton-Iteration demnach

$\begin{align*} \alpha_{n+1} = \alpha_n - \frac{b\cos\left(\frac{\alpha_n}{2}\right)+h\alpha_n-b}{-\frac{b}{2}\sin\left(\frac{\alpha_n}{2}\right)+h} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Steffen Bühler
so schlimm ist es gar nicht

Doch, ist es.

15.02.2017, 12:05

meyer1910

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Kreisbogen
Also, nochmal zusammengefasst, ist die Approximation, dass ich einen Winkel setze, der in der Nähe des gesuchten bzw unbekannten Winkel ist. Folglich Rechne ich:

den selbst gesetzten Winkel: $\begin{eqnarray*} \alpha 0 \end{eqnarray*}$ minus die Funktion von $\begin{eqnarray*} \alpha 0 \end{eqnarray*}$ durch die erste Ableitung der Funtkion von $\begin{eqnarray*} \alpha 0 \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} \alpha 1 = \alpha 0 - \frac{f(\alpha 0)}{f'(\alpha 0)} \end{eqnarray*}$

Dadurch nähere ich mich den gesuchten Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha 1 \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe noch nicht, wie ich von

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha 0 /2) + (h/b) * \alpha = 1 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} f(\alpha 0) = b * cos(\alpha 0 /2) - \alpha 0 * h \end{eqnarray*}$

komme.

15.02.2017, 12:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von meyer1910
Ich verstehe noch nicht, wie ich von

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha 0 /2) + (h/b) * \alpha = 1 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} f(\alpha 0) = b * cos(\alpha 0 /2) - \alpha 0 * h \end{eqnarray*}$

komme.

Gar nicht. Offenkundig liegt - vielleicht durch die Arndt-Brünner-Seite inspiriert - eine Verwechslung zwischen Kreissegmenthöhe $\begin{align*} h \end{align*}$ (bei Arndt-Brünner mit $\begin{align*} a \end{align*}$ bezeichnet) mit dem bei Arndt-Brünner verwendeten Symbol $\begin{align*} h=r-a \end{align*}$ vor. Ich habe in meinem letzten Beitrag die korrigierte Newton-Iteration bereits genannt, vielleicht hast du das noch nicht mitgekriegt.

15.02.2017, 12:48

meyer1910

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Kreisbogen
Ok. Super, danke! Habe ich wirklich nicht gesehen. Sorry!
Die Herleitung der Formel ist mir noch unklar, aber das ist in Mathe ja immer son Ding Hammer

Kann man die gesuchten Werte (Radius, Sehne und Winkel) nur durch approximieren lösen?

Es ist ja schon schade, dass ich einen Winkel in der Nähe angeben muss.. Programmiertechnisch ist die schwer umzusetzen.

Danke für alles!

15.02.2017, 12:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von meyer1910
Kann man die gesuchten Werte (Radius, Sehne und Winkel) nur durch approximieren lösen?

Leider ist das so.

Die programmtechnische Umsetzung scheint mir nicht so schwer. Schon eher sehe ich die Gefahr, dass durch unglückliche Wahl des Startwerts die Sache eskaliert - das Newton-Verfahren ist in der Hinsicht bisweilen nämlich anfällig.

Für $\begin{align*} h\ll b \end{align*}$ und damit kleine Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ könnte man den durch Näherung $\begin{align*} \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \approx 1-\frac{\alpha^2}{8} \end{align*}$ inspirierten Startwert $\begin{align*} \alpha_0 = \frac{8h}{b} \end{align*}$ nehmen.

15.02.2017, 13:37

meyer1910

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Kreisbogen
Ok. Schade aber Danke schonmal. ich habe jetzt mal ein konkretes beispiel gerechnet:

Ich möchte bei einer höhe = 1 und Bogenlänge = 5 den Winkel finden.

Ich nehme als Startwert den Winkel 90°

90 - Zähler = -0,80 durch Nenner = 0,0097

dann bekommen ich als Ergebnis = 90 - 82,033 = 7,966

Da nähert sich doch gar nichts unglücklich

$\begin{eqnarray*} \alpha 0 - \frac{b * cos(\alpha 0 /2) + h * \alpha 0 - b }{-b/2 * sin(\alpha 0/2) + h} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} 90 - \frac{5 * cos(90 /2) + 1 * 90 - 5 }{-5/2 * sin(90/2) + 1} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} 90 - \frac{-0,80 }{-0,009} \end{eqnarray*}$

=

7,966

hab ich ein Fehler gemacht??

Achja, die Lösung ist 97°

Ich weiß auch ehrlich gesagt nicht, wann ich Gradmaß und wann ich Bogenmaß nehmen soll

Sorry!

15.02.2017, 13:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von meyer1910
Ich nehme als Startwert den Winkel 90°

Hast du eben leider nicht gemacht, du bist mit 90 gestartet.

$\begin{align*} 90 \end{align*}$ einerseits und $\begin{align*} 90^{\circ}=\frac{\pi}{2} \end{align*}$ andererseits sind ein himmelweiter Unterschied: Das Gradsymbol ° ist nichts, was man ungestraft weglassen kann. unglücklich

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Auch der Startwert 90° ist in Ordnung - wenn man ihn denn ins Bogenmaß übersetzt, also 1,57...

Allem Anschein nach hast du das nicht ernst genommen: Die gesamte Newtonrechnung findet AUSSCHLIESSLICH im Bogenmaß statt, und natürlich mit TR-Einstellung RAD. Nach Abschluß kannst du dann wieder den erhaltenen Winkel in Gradmaß umrechnen, sofern erforderlich.

P.S.: Falls mich wieder (wie letztens) einer anpflaumen will, weil ich Großbuchstaben einsetze: Es ist die im Thread wiederholte Aufforderung, mit Bogenmaß zu arbeiten - und wenn es beim ersten Mal nicht registriert wurde, muss man dem beim zweiten Mal eben etwas deutlicher Nachdruck verleihen.

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