Taylorreihe und Konvergenzradius einer Reihe |
| 15.02.2017, 16:53 | Student 0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Taylorreihe und Konvergenzradius einer Reihe Ich habe im Moment Probleme bei folgender Aufgabe und wäre dankbar für jede Hilfe. "Zeigen Sie, dass folgende Funktionen beliebig oft differenzierbar sind, und berechnen Sie ihre Taylorreihen um x = 0. Gib jeweils den Konvergenzradius an. Wo stellen die Taylorreihen die Funktionen dar? " Folgende Funktion sollen wir untersuchen: f(x):= g(x):= Die Funktionen sind offensichtlich beliebig oft differenzierbar. Bei der ersten Aufgabe bin ich darauf gekommen, dass jedes Glied der Taylorreihe 0 ergibt. Heisst das, dass der Konvergenzradius 0 ist und die Taylorreihe die Funktion nur im Punkt x=0 darstellt? Zu der zweiten Aufgabe, ich verstehe nicht, wie ich mit dieser Summe umgehen soll. Der Cosinus ist natürlich beschränkt durch 1 und -1, und 1/2^n ist eine monoton fallende Nullfolge. Die Reihe konvergiert also nach dem Abelschen Kriterium. Hilft mir diese Erkenntnis auf irgendeine Weise? Vielen Dank schon mal im voraus 
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| 15.02.2017, 17:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Taylorreihe und Konvergenzradius einer Reihe
Nein: Die Taylorreihe identisch 0 ist für alle x konvergent, mithin ist ihr Konvergenzradius unendlich.
Das ist richtig. Dieses Beispiel zeigt, dass man aus der Konvergenz der Taylorreihe in irgendeinem Punkt nicht automatisch folgern darf, dass der Taylorreihenwert dann auch tatsächlich dem Funktionswert der ursprünglichen Funktion entspricht.
An "Abel" hätte ich jetzt nicht gedacht, aber vermutlich verwechsle ich da was mit dem Abelschen Grenzwertsatz. Sie konvergiert aber auch einfach z.B. nach Wurzelkriterium, was (gliedweise differenziert) offenbar auch auf alle Ableitungen zutrifft. |
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| 15.02.2017, 17:09 | Alatair | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zuerst einmal danke für die Antwort 
Ich glaube das mit dem unendlichen Konvergenzradius habe ich jetzt verstanden, da war wohl noch ein Knoten im Hirn. 
Jedoch muss ich schnell nachfragen, was ich nun bei der zweiten Funktion tun soll. Dort weiss ich nicht weiter 
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| 15.02.2017, 22:22 | Student 0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich muss das Thema leider pushen, da ich wirklich nicht weiter weiss. 
Ich wäre um jede Hilfestellung dankbar
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| 16.02.2017, 11:29 | Student 0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leider noch einmal ich 
Die Reihe konvergiert also. Darf ich die Ableitungen berechnen? Wenn ich nach x ableite, hätten diese die Form , die zweite wäre und so weiter. Darf ich jetzt daraus eine Taylorreihe bilden? Ein Hinweis wäre sehr gern gesehen
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| 16.02.2017, 14:30 | Student 0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es tut mir wirklich ausserordentlich leid, dass ich so auf dem Thema herumreite, aber kann mir niemand schnell einen Hinweis geben?
Ich stecke jetzt seit Stunden an dieser Aufgabe fest... |
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| 16.02.2017, 15:22 | Student 0815 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bemerke gerade, dass mir mein erster Beitrag nicht mehr angezeigt wird 
Ich werde die Aufgabe noch einmal hier herein kopieren: [Dateianhang] Diese Funktion soll als Taylorreihe um x_0=0 berechnet werden und ihr Kovergenzradius bestimmt werden. Wie aus vorausgehenden Posts ersichtlich ist, bin ich wirklich am verzweifeln an der Aufgabe und weiss nicht, ob ich einfach auf dem Schlauch stehe. Hat denn niemand einen Tipp, wie man mit der Reihe umgehen sollte? |
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