Ungleichung zeigen

15.02.2017, 17:43

Samuel220

Ungleichung zeigen

Guten Abend Leute Wink

Ich komme bei folgender Ungleichung nicht weiter (Anhang)
Ich habe mir die Funktion schon mal geplottet und angesehen, werde daraus aber nicht schlau.
da der cos beschränkt ist, ist auch -ln(cos(x)) beschränkt. Jetzt komme ich aber nicht weiter.
Hat jemand eine gute Idee und könnte mir helfen?

15.02.2017, 19:20

zinR

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RE: Ungleichung zeigen
Wenn Du die Funktion mit der Taylorformel um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$ entwickelst, sollte das auf eine Restgliedabschätzung hinauslaufen.

15.02.2017, 19:38

Samuel220

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Hmm, okay, danke Freude

Es kommt ein Taylorpolynom dieser Form heraus:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{12} + \frac{x^6}{45} +... \end{eqnarray*}$
Unsere Formel für die Restgliedabschätzung ist die von Lagrange, also
$\begin{eqnarray*} R_n\leq \frac{f^{n+1}(x)}{(n+1)!}*|x-x_0|^{n+1} \end{eqnarray*}$
Ich kann das natürlich nicht einfach so stehen lassen, ab welcher Stelle sollte ich es hier berechnen? Kann ich schon ab der 8.ten Ableitung rechnen, also nach dem nächsten Glied, das oben kommen würde?

15.02.2017, 19:52

zinR

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Scharf ansehen liefert die Antwort: $\begin{eqnarray*} \vert f(x) - \frac{x^2}{2} \vert = \vert \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + R_2 \vert = \vert R_2 \vert \end{eqnarray*}$ .

15.02.2017, 19:55

Samuel220

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facepalm des Jahrhunderts Forum Kloppe

Vielen, vielen Dank Gott

Den Beweis, dass R_3 kleiner als 2/3 x^3 ist, soll ich diesen Beweis am besten mit vollständiger Induktion durchführen (damit hadere ich noch ein bisschen :dance smile

15.02.2017, 20:05

zinR

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Ein Induktionsbeweis bietet sich hier nicht an, da $\begin{eqnarray*} \vert \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}x^3 \vert \leq \frac{2}{3}\vert x \vert ^3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \xi \in [- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist. Wir haben also keine Aussage über natürliche Zahlen zu zeigen.

15.02.2017, 20:11

Samuel220

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Stimmt

Ich habe mir die Funktion mal angesehen und habe festgestellt, dass (2/3 |x|^3) vom Taylorpolynom -ln(cos(x)) sehr gut angenähert wird. Darf ich dann behaupten, dass das Restglied (trivialerweise) betragsmässig kleiner als das gesamte Taylorpolynom ist, somit ist das Restglied kleiner oder gleich der Funktion, da im Punkt 0 die Taylorfunktion die ursprüngliche Funktion annähert, das Restglied also 0 wird.
Vielen Dank für die Geduld und die Hilfe Freude

15.02.2017, 20:35

zinR

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Jetzt überforderst du mich ein wenig.

Zitat:

Original von Samuel220
Darf ich dann behaupten, dass das Restglied (trivialerweise) betragsmässig kleiner als das gesamte Taylorpolynom ist,

Ich sehe nicht ganz, wie du dazu kommst.

Eigentlich hättest du ja nur mehr $\begin{eqnarray*} \vert \frac{2 \sin \xi}{3! \cos^3 \xi}\vert \leq \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \vert \frac{\sin \xi}{\cos^3 \xi}\vert \leq 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \xi \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \end{eqnarray*}$ zu zeigen, sofern ich mich nicht verrechnet habe.

Randbem.: Ich bin selbst Erstsemester, habe noch nicht einmal die Analysis I Klausur hinter mir. Für ausführlichere (und womöglich sehr viel bessere) Antworten mag es sinnvoll sein, zu warten, bis sich die Profis einmischen Augenzwinkern

Die obige Abschätzung lässt sich aber (relativ) problemlos auch mit Schulkenntnissen durchführen!

15.02.2017, 20:40

Samuel220

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Danke vielmals, das macht Sinn Freude

Die Klausur habe ich schon hinter mir, eine Stunde pure Hölle Big Laugh

Nachprüfung, ich komme Tanzen

Falls du die Klausur noch schreibst: Viel Erfolg Freude

Danke nochmal für die Geduld und die Hilfe und noch einen schönen Abend Big Laugh

15.02.2017, 21:14

zinR

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Gerne. Ich wünsche dir ebenfalls viel Erfolg! smile

On Topic (falls es nicht schon völlig überflüssig ist): Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \vert \sin \xi \vert \leq \frac{1}{\sqrt 2}, \vert \cos^3 \xi \vert \geq \frac{1}{\sqrt 2 ^3} \end{eqnarray*}$ gilt. Dann ist man fertig.

15.02.2017, 21:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samuel220
Ich habe mir die Funktion mal angesehen und habe festgestellt, dass (2/3 |x|^3) vom Taylorpolynom -ln(cos(x)) sehr gut angenähert wird.

Anscheinend meinst du wohl eher, dass -ln(cos(x)) vom Taylorpolynom 1/2 x^2 sehr gut angenähert wird!

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