Taylorreihe

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LetsTalkAboutMath Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe
Meine Frage:
Hallo,

Ich hab eine Frage bzgl. einer Aufgabenstellung

"Wie groß ist der Konvergenzbereich dieser Taylorreihe und stellt sie die Funktion f in diesem Bereich dar? "



Meine Ideen:
Wie muss ich vorgehen um zu zeigen ob die Funktion auch wirklich dargestellt wird ? Muss ich schauen ob mein Restglied in diesem Konvergenzbereich gegen null läuft ?


Vielen Dank schonmal
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe
Genau! Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LetsTalkAboutMath
Muss ich schauen ob mein Restglied in diesem Konvergenzbereich gegen null läuft ?

Dein vorgeschlagener Weg ist zumindest eine sichere Möglichkeit, die Darstellung zu begründen.
Ein Alternativweg fällt mir jetzt allerdings auch nicht ein, was nicht heißt, dass es ihn nicht doch gibt
(soviel zu dem "muss").
LetsTalkAboutMath Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten smile

Was mich noch verwirrt..mein Restglied ist ja quasi mein n+1 glied ( oder doch nicht zwangsweise?) weil in der Lösung steht da zwar was mit dem Restglied aber mein Restglied den ich aufgestellt habe sieht ganz anders aus . Gibts da mehrere Möglichkeiten ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man weiß, dass die Funktion analytisch ist (z.B. Realteil einer holomorphen Funktion, oder harmonisch oder ähnliche Späße) folgt die sofort, dass die Funktion durch eine Potenzreihe dargestellt wird (nach Definition). Aus der Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung als Taylorreihe würde es abstrakt folgen. Irgendwo beisst sich die Katze aber in den Schwanz.

Edit: Auf den neuen Post: Das Restglied mag anders aussehen, der Wert ist aber eindeutig bestimmt. Trivialerweise durch .
LetsTalkAboutMath Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreib das mal jetzt auf was ich meine..

Unser xo=0 und unsere k-te Ableitung von der Funktion lautet:

d.h

So und in der Lösung wurde das Restglied definiert als :


Aber , wenn wir jetzt generell die Definition eines Restglieds anschauen,die ja lautet:



Komme ich in unserem Fall nach Umformungen auf den Ausdruck hier:


Ist mein Restglied jetzt falsch ? Also könnte ich nicht damit weiterarbeiten und schauen ob er gegen null läuft in meinem Konvergenzbereich ?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es richtig sehe, ist es in der Lösung einfach das Restglied ein Schritt vorher. Das kommt darauf an, wie man es definiert. Für die Konvergenz ist es egal, da und das gleiche Konvergenzverhalten, und falls existent gleichen Grenzwert, haben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob Indexshift oder nicht bei der Interpretation des Restgliedes - das hier ist auf jeden Fall falsch:

Zitat:
Original von LetsTalkAboutMath
Komme ich in unserem Fall nach Umformungen auf den Ausdruck hier:

Und im Indexchaos sollte auch mal aufgeräumt werden.
LetsTalkAboutMath Auf diesen Beitrag antworten »

Huch Hal...hast recht danke Freude Ich hatte nämlich im Zähler vergessen mein k mit +1 zu ergänzen somit hat sich das unten nicht ganz weggekürzt gehabt.

Aber jetzt bin ich auf den Ausdruck gekommen:


Und wenns so ist wie Ifindu es sagt , dass es in der Lösung ein Schritt vorher ist..dann müsste ja im Zähler nicht (-1)^n+1 sondern nur -1...oder ? unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LetsTalkAboutMath
Aber jetzt bin ich auf den Ausdruck gekommen:

Nein, mit dem Vorzeichen im Nenner scheint jetzt alles in Ordnung zu sein. Unbedingt hinzusagen solltest du allerdings, dass dieses im Sinne von "es existiert ein von abhängiges zwischen 0 und " zu verstehen ist.
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