Durchschnitt von Intervalle

16.02.2017, 11:56	Janafragtnach	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitt von Intervalle Meine Frage: Hallo Leute, ich versuche folgende Aufgabe nachzuvollziehen. Die Intervalle I n = [an,bn] $\begin{eqnarray} \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ seien derart, dass an < bn und I n+1 $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ I n für alle n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \cap n\in \mathbb N I n\neq \left\{ \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Lösung baut darauf auf, dass Aus [a n+1,b n+1] $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ [a n, b n] folgt, dass (an) $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ wachsend und (bn) $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ fallend ist. Der Rest folgt schlüssig aus diesem Ansatz. Meine Frage ist jedoch, wie kommt man darauf, oder besser warum ist es so, dass (an) wächst und (bn) fällt? Danke euch
16.02.2017, 12:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt von Intervalle Nimm doch mal an, dass $\begin{eqnarray} a_n > a_{n+1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b_n < b_{n+1} \end{eqnarray}$ für ein n. Zeige, dass dann $\begin{eqnarray} I_{n+1} \not \subset I_n \end{eqnarray}$ gilt.
16.02.2017, 13:09	Janafragtnach	Auf diesen Beitrag antworten »
Daraus folgt das a_n fallend und b_n wachsend ist und somit gilt a_n $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ a<b_n $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ b Anschaulich sieht man das I_(n+1) nicht mehr in I_(n) enthalten ist, aber wie zeige ich das ?
16.02.2017, 13:17	Janafragtnach	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry meinte a $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ a_n<b_n $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ b
16.02.2017, 13:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnitt von Intervalle Gib einfach ein Element an, das in $\begin{eqnarray} I_{n+1} \end{eqnarray}$ aber nicht in $\begin{eqnarray} I_n \end{eqnarray}$ liegt.
16.02.2017, 13:25	Janafragtnach	Auf diesen Beitrag antworten »
Für n = 1 liegt a_1 in I_1 aber nicht mehr in I_2 .
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16.02.2017, 13:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man strikt-fallend für die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ annimmt. Was wenn wir nur wissen, dass die Folge nicht monoton wächst, d.h. ein $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} a_m > a_{m+1} \end{eqnarray}$ ?
16.02.2017, 13:54	Janafragtnach	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid...weiß leider nicht was das dann aussagt. Trotzdem vielen Danke für die Hilfe
16.02.2017, 13:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
...Dann ist $\begin{eqnarray} I_m \not\subset I_{m+1} \end{eqnarray}$ , weil? Das gleiche Argument, bloss an der Stelle $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ statt 1. weil das Gegenteil von monoton wachsend nicht monoton fallend ist.

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