Eisenbahnmetrik nicht von Norm induziert

16.02.2017, 14:29	Xcvbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Eisenbahnmetrik nicht von Norm induziert Meine Frage: Ich habe die Metrik $\begin{eqnarray} \mathrm{B}(x, y) = \begin{cases} \\|x -y\\|_2 \ & \text{wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind}, \\ \\|x\\|_2+ \\|y\\|_2 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ gegeben und soll zeigen, dass sie nicht von einer Norm kommen kann. Meine Ideen: Ich versuche es per Widerspruch zu zeigen, finde aber keinen: Angenommen es existiert so eine Norm $\begin{eqnarray} \\|-\\| \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} \\|x - y\\| = \mathrm{B}(x, y) \end{eqnarray}$ gilt. Jetzt sollte ich ja eine Normeigenschaft finden, die diese Norm nicht erfüllen kann... (1) Wenn $\begin{eqnarray} \\|x\\| = 0 \end{eqnarray}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray} \mathrm{B}(x, \textbf{0}) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm{B}(x, \textbf{0}) = \\|x\\|_2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2 = 0 \Rightarrow x = \textbf{0} \end{eqnarray}$ . (2) absolute Homogenität: $\begin{eqnarray} \\|\lambda x\\| = \mathrm{B}(\lambda x, \textbf{0}) = \\|\lambda x\\|_2 = \|\lambda\|\cdot \\|x\\|_2 = \|\lambda\|\cdot\mathrm{B}(x, \textbf{0}) =\|\lambda\|\cdot \\|x\\| \end{eqnarray}$ (3) Dreiecksungleichung: Wenn $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ linear abhängig sind, ist $\begin{eqnarray} \\|x + y\\| = \mathrm{B}(x, -y) = \\|x + y\\|_2 \leq \\|x\\|_2 + \\|y\\|_2 = \mathrm{B}(x, \textbf{0}) + \mathrm{B}(y, \textbf{0}) = \\|x\\| + \\|y\\| \end{eqnarray}$ . Und sonst ist $\begin{eqnarray} \\|x + y\\| = \mathrm{B}(x, -y) = \\|x\\|_2 + \\|y\\|_2 =\mathrm{B}(x, \textbf{0}) + \mathrm{B}(y, \textbf{0}) = \\|x\\| + \\|y\\| \end{eqnarray}$ . Ich nehmen an, dass ich da irgendeinen recht grundlegenden Denkfehler drin habe, komme aber nicht drauf.
16.02.2017, 15:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es eine solche Norm gäbe, müsste auch für beliebige $\begin{align} x,y \end{align}$ die Gleichung $\begin{align} B(x+y,y) = \\|(x+y)-y\\| = \\|x\\| = B(x,0) \end{align}$ gelten - auch für linear unabhängige $\begin{align} x,y \end{align}$ ! Ist das hier der Fall?
16.02.2017, 17:48	Xcvbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} \mathrm{B}(x, 0) = \\|x\\|_2 \end{eqnarray}$ und, wenn man $\begin{eqnarray} x+y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ linear unabhängig wählt, ist $\begin{eqnarray} \mathrm{B}(x + y, y) = \\|x + y\\|_2 + \\|y\\|_2 \end{eqnarray}$ und das ist im Allgemeinen von $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2 \end{eqnarray}$ verschieden. Zum Beispiel $\begin{eqnarray} 5 + \sqrt{13} = \\|(3, 4)\\|_2 +\\|(2, 3)\\|_2= \mathrm{B}((3, 4), (2,3)) = \mathrm{B}((1, 1) + (2, 3), (2,3)) = \\|(1, 1)\\| = \mathrm{B}((1, 1), (0, 0)) = \\|(1, 1)\\|_2= \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , also ein Widerspruch. Ok, das passt. Danke!

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