Basen von Untervektorräumen berechnen

16.02.2017, 17:02	HylianGamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen von Untervektorräumen berechnen Meine Frage: Hallo liebes Matheboard Ich habe hier ein Problem bei folgender Aufgabe: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} U_{1} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} )\in \mathbb R ^4 : x_{2}-2x_{3}=0, 2x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=0\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_{2} := \left\{ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} )\in \mathbb R ^4 : x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0, 4x_{1}+x_{3}-x_{4}=0\right\} \end{eqnarray}$ Untervektorräume von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ sind, und bestimmen Sie Basen von $\begin{eqnarray} U_{1},U_{2}, U_{1}\cap U_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_{1} + U_{2} \end{eqnarray}$ . Das Problem für mich ist nicht das Zeigen, dass es Untervektorräume sind, sondern das Berechnen der Basen. Meine Ideen: Ich weiß eben nicht sorecht, wie ich Bei Untervektorräumen dieser Form Basen berechnen soll. Ich kann mir vorstellen, dass hier vielleicht was mit dem Gauß-Algorithmus vorkommen sollte, aber so ganz sicher bin ich mir nicht. Denn die Bedingungen von den Untervektorräumen sind doch nix anderes als ein LGS, oder denk ich da in die falsche Richtung?
16.02.2017, 17:48	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Richtung ist schon korrekt und es stellt sich zwangsläufig die Frage was für Basen Du bisher ausrechnen musstest. Du hast es hier mit der Lösungsmenge eines (homogenen) Linearen Gleichungssystems zu tun und normalerweise wird dabei auch der Begriff der Basis eingeführt. War das bei Euch anders?
16.02.2017, 18:13	HylianGamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß eben nicht so wirklich, was mir jetzt bspw. im Fall $\begin{eqnarray} U_{1} \end{eqnarray}$ , wenn ich da das kleine LGS da in erweiterte Zeilenstufenform bringe. Also von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 & 0\\ 2 & 1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Schön, habe den Algorithmus angewendet, hab eine ZSF. Was mir die bringt, weiß ich leider nicht. Wenn ich die Basen ja erstmal hab, wird mir (wahrscheinlich) das Berechnen der Basen für die Summe und der Schnitt der Untervektorräume kein Problem sein, da ich dann einfach den Zassenhaus-Algorithmus anwende. Aber das Problem ist halt, dass ich mit dem ZSF erstmal planlos bin. Wahrscheinlich hab ich die Basis schon fast und ich seh die einfach nicht.
16.02.2017, 18:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst Du die Lösungsmenge deines Systems angeben? Du hast zwei unabhängige Zeilen und vier Variablen. Welche Dimension hat demnach der Lösungsraum von Av=0 ?
16.02.2017, 19:16	HylianGamer	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x_{1}=-\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=2s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3}=s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{4}=t \end{eqnarray}$ Ist die Dimension hier 2, da der Rang der Matrix hier 2 ist oder verwechsel ich was? :\
16.02.2017, 19:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollkommen richtig. Wenn man nun deine Lösung als Vektor schreibt und nach Parameter sortiert, hast Du deine gesuchte Basis: $\begin{align} x=\begin{pmatrix} -\frac 12s+\frac 12t \\ 2s \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac 12s \\ 2s \\ s \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac 12t \\ 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} -\frac 12 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} \frac 12 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$
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16.02.2017, 21:11	HylianGamer	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das wars schon? Da hab ich wohl den Wald vor lauten Bäumen nicht gesehen. Hab ich wohl daraus ein größeres Problem gemacht als es eigentlich ist. Auf jeden Fall Danke! Den Rest der Aufgabe sollte ich jetzt auch selber hinkriegen.
16.02.2017, 21:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden letzten bilden eine Basis des Unterraums, ja.

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