Differenzierbarkeit

16.02.2017, 19:04

LetsTalkAboutMath

Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Hallo,
Folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar ,aber nicht stetig differenzierbar ist.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ x^2sin\frac{1}{x}, x\neq 0 \right\} \end{eqnarray*}$
Für x= 0, ist die funktion null.

Meine Ideen:
Ich denke ich muss so vorgehen:
Zuerst einmal erwähnen, dass die sinus Funktion , die x-->x funktion und konstante Funktionen differenzierbar sind und somit ist auch die Komposition von solchen Funktionen differenzierbar. Die Funktion ist also sicherlich auf R ohne die 0 differenzierbar.
Um zu zeigen, dass sie bei xo=0 differenzierbar ist , muss ich ja zeigen, dass die Ableitungswerte in diesem Punkt übereinstimmen. Sprich da für x= 0 die funktion 0 ist, ist die Steigung ja auch null. D.h meine Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^2sin\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ muss in xo=0 ,gleich null sein.
Meine Frage: Darf ich jetzt direkt ableiten ? Sprich , dass ich die Ableitung stehen hab:
$\begin{eqnarray*} 2x*sin\frac{1}{x} - cos\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und für x=0 geht sie wegen 2x gegen null.
Ich weiß aber nicht ob ich direkt die Ableitung herleiten kann und einsetzen darf oder ob ich zeigen muss dass der Differenzquotient an der Stelle exisitiert ? Und die Funktion ist ja nicht stetig differenzierbar , d.h meine Ableitungsfunktion von der Funktion ist nicht stetig..aber warum denn nicht ?
Das sieht ja dann so aus:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x sin\frac{1}{x} - cos\frac{1}{x}, x \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 , x=0 \end{eqnarray*}$

Und die Funktionswerte stimmen in xo=0 ja überein, sie ist also stetig ?
Hoffe mir kann jemand helfen smile

Danke im voraus !

16.02.2017, 19:28

SHigh

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Und die Funktionswerte stimmen in xo=0 ja überein,

Welche Funktionswerte?

Die Idee ist, sich eine Nullfolge $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ herzunehmen, so dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty}f(x_k) \neq f(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Versuch doch mal so eine Folge zu finden.

16.02.2017, 19:34

SHigh

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RE: Differenzierbarkeit
Entschuldige, das gane soll natürlich für f' gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty}f'(x_k) \neq f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

16.02.2017, 20:10

Clearly_wrong

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Ich verstehe echt nicht, warum es sich alle bei solchen Aufgaben immer so schwer machen und versuchen, auf irgendwelche höchst umständliche Arten, die Differenzierbarkeit nachzuweisen.

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist in $\begin{align*} 0 \end{align*}$ differenzierbar, wenn $\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} \end{align*}$ existiert. Das ist hier einfach der Grenzwert $\begin{align*} \lim_{h\to 0}h\sin\left(\frac{1}{h}\right) \end{align*}$ . Ist es so schwer, den zu berechnen, dass man stattdessen

Zitat:

Um zu zeigen, dass sie bei xo=0 differenzierbar ist , muss ich ja zeigen, dass die Ableitungswerte in diesem Punkt übereinstimmen.

sowas versucht, was einfach im Allgemeinen falsch ist? Die Definition nachzurechnen ist doch viel einfacher, als sich über sowas Gedanken zu machen verwirrt

16.02.2017, 21:19

LetsTalkAboutMath

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Vielen Dank für die Antworten !

@Clearly-wrong Big Laugh

Ich glaube gerade weil es eigentlich doch so einfach ist neigt man dazu die Sache doch komplizierter zu machen LOL Hammer

Original von Clearly_wrong
Ich verstehe echt nicht, warum es sich alle bei solchen Aufgaben immer so schwer machen und versuchen, auf irgendwelche höchst umständliche Arten, die Differenzierbarkeit nachzuweisen.

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist in $\begin{align*} 0 \end{align*}$ differenzierbar, wenn $\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} \end{align*}$ existiert. Das ist hier einfach der Grenzwert $\begin{align*} \lim_{h\to 0}h\sin\left(\frac{1}{h}\right) \end{align*}$ .

D.h wenn ich das gezeigt habe bin ich fertig ? Aber es stimmt ja schon dass ich bei so einer stückweisen definierten funktion schauen muss ob die Differenzquotienten übereinstimmen oder nicht ? Bspweise wenn für x kleiner 0 und x größer null verschiedene Funktionen vorliegen, zeige ich da dass die differenzquotienten existieren und die müssen dann gegen den selben grenzwert laufen oder ? smile

16.02.2017, 21:26

Clearly_wrong

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Wenn $\begin{align*} f \end{align*}$ oberhalb von Null anders definiert ist, als unterhalb von Null, dann muss man das bei der Untersuchung von $\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} \end{align*}$ berücksichtigen, ja. Man muss sich dafür aber nicht die Ableitung oberhalb und unterhalb von Null ansehen, es geht dabei nur um den Differenzenquotienten.

Wenn du das hast, hast du nur die Differenzierbarkeit gezeigt und kennst den korrekten Wert der Ableitung. Du hattest ja auch vorher schon Null als Wert der Ableitung angenommen nur ein Argument, warum das so sein sollte, fehlte noch.

Danach musst du noch die Stetigkeit der Ableitung untersuchen, dazu hat SHigh ja schon etwas gesagt.

16.02.2017, 21:51

LetsTalkAboutMath

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D.h wenn jetzt generell f oberhalb von meinem zu untersuchenden xo anders definiert ist als unterhalb , bilde ich jeweils die Differenzquotienten und muss schauen ob die Grenzwerte mit h gegen null übereinstimmen.(?) Wenn das der Fall ist , ist die funktion an xo differenzierbar.

Jetzt zur Stetigkeit der Ableitung:
Wie SHigh schon sagte , mach ich das mit dem Folgenkriterium.
Da ich ja jetzt die diffbarkeit gezeigt habe, kann ich hier dann direkt mit meiner Ableitung arbeiten oder muss ich hier auch den Differenzquotienten anwenden ?

16.02.2017, 22:06

LetsTalkAboutMath

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Ich hab das mal so versucht..

Meine Ableitung ist
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2xsin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ (verläuft mit n gegen unendlich gegen 0 )
Dann gilt
$\begin{eqnarray*} f'(x_{n}) = \frac{2}{n}sin(n) - cos(n) \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n}sin(n) - cos(n) = \lim_{n \to \infty } -cos(n) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung ?

17.02.2017, 07:08

SHigh

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Nein, leider nicht. Du kennst doch die Cosinuskurve, warum sollte

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \cos(n) =0 \end{eqnarray*}$

gelten? Ausserdem willst du doch zeigen, dass deine Ableitung NICHT stetig ist.

Denke mal an die Stellen

$\begin{eqnarray*} 2k\pi, \, \, k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ,

schau dir den Cosinus an diesen Stellen an und versuch daraus eine Nullfolge zu konstruieren.

17.02.2017, 08:13

IfindU

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Dort steht Ungleich, nicht gleich 0.

17.02.2017, 08:36

LetsTalkAboutMath

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ja genau, da steht zwar ungleich null , aber ich sollte die folge echt geschickter wählen ! Big Laugh

Danke dir,der Gedanke hat mir jetzt echt geholfen.

Dann nehme ich einfach die nullfolge (1/2*k*pi) und sehe dass das am ende gegen die 1 verläuft und nicht gegen null , richtig ?

17.02.2017, 12:11

SHigh

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac 1{2k\pi} \end{eqnarray*}$ meinst, dann sollte das hinhauen, da dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} f'(x_k)=-1\neq 0=f'(0) \end{eqnarray*}$ folgt.

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