Integration: Partialbruchzerlegung

16.02.2017, 18:31

Enomine

Integration: Partialbruchzerlegung

Hi,

die Aufgabe ist:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{3x-3}{2x+2} \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Ich habe mir gedacht ich mache Partialbruchzerlegung:

[attach]43926[/attach]
[attach]43927[/attach]

Erst danach habe ich in die Musterlösung geschaut. Dort wurde anders verfahren und ein anderes Ergebnis kommt raus.

[attach]43928[/attach]

Ist meine Rechnung trotzdem richtig?

Danke - Enomine

16.02.2017, 19:27

Mulder

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RE: Integration: Partialbruchzerlegung
Sehe ich das richtig? Du erzeugst durch Erweitern mit x erstmal ein Produkt im Nenner, das du dann durch eine PBZ wieder ausmerzen willst?

Äh ... mal ganz doof gefragt: Ist dir langweilig? Augenzwinkern

Also deine Rechnung stimmt nicht, nein. Dieses x, das du ganz zu Beginn hier stehen hast:

$\begin{eqnarray*} \int \color{red}x\color{black} \cdot \frac{3x-3}{(2x+2)x} \, \dd x \end{eqnarray*}$

hast du später wohl irgendwie unter den Teppich gekehrt.

Aber so oder so: Hier erst mit x zu erweitern ist komplett kontraproduktiv. Du wirfst dir einen Haufen Steine vor die Füße, um ihn anschließend wieder wegzuräumen.

Wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist, gilt grundsätzlich: Erstmal mit einer Polynomdivision anfangen. Und dann mal gucken, was sich ergibt.

Und wenn du kein Produkt im Nenner hast, dann ist eine Partialbruchzerlegung Quatsch.

16.02.2017, 22:27

Enomine

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RE: Integration: Partialbruchzerlegung
Oh ja jetzt sehe ich es auch. Das x habe ich einfach vergessen.
Dass ich mit einer Nullsumme es lösen kann habe ich nunmal nicht gesehen und gedacht ich könnte es so umformen, dass ich diese A + B Geschichte drauß machen kann.

Danke - Enomine

17.02.2017, 15:37

rumar

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RE: Integration: Partialbruchzerlegung
Wenn du da (fast etwas übertrieben) von "Partialbruchzerlegung" sprechen willst, darfst du das meinetwegen. Nur solltest du dabei beachten, dass diese sich hier in besonders einfacher Form zeigt, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{3 x - 3}{2 x + 2}\ =\ A\ +\ \frac{B}{2 x + 2} \end{eqnarray*}$

mit (noch zu ermittelnden) reellen Faktoren A und B .

17.02.2017, 16:08

Shalec

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Hinweis von mir:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x-3}{2x+2} dx = \int \frac{3(x-1)}{2(x+1)} dx=\frac{3}{2}\int \frac{x-1}{x+1} dx =\frac{3}{2}\int \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1} dx=... \end{eqnarray*}$

20.02.2017, 07:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shalec
Hinweis von mir:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{3x-3}{2x+2} dx = \int \frac{3(x-1)}{2(x+1)} dx=\frac{3}{2}\int \frac{x-1}{x+1} dx =\frac{3}{2}\int \frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1} dx=... \end{eqnarray*}$

@Shalec: leider ist dein Hinweis in dieser Form nicht wirklich brauchbar.

Mit der Umformung $\begin{eqnarray*} \int \frac{3x-3}{2x+2} dx = \int \frac{3(x+1)-6}{2(x+1)} dx \end{eqnarray*}$ wird ein Schuh draus.

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