Zeigen, dass eine Matrix Basis der schiefsymmetrischen Matrizen ist

16.02.2017, 19:39	Devoreal	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass eine Matrix Basis der schiefsymmetrischen Matrizen ist Meine Frage: Hallo, ich würde gerne wissen wie man folgendes formal korrekt zeigt: Gegeben ist der Untervektorraum $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V=R^{2x2} \end{eqnarray}$ der schiefsymmetrischen Matrizen. Das heißt es gilt für alle $\begin{eqnarray} i,j \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} a_{ij} = -a_{ji} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist eine Basis. Meine Ideen: Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1& 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Basis davon ist. Offensichtlich ist diese dann linear unabhängig, da sie einelementig ist. Aber wie zeige ich dass es ganz $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ erzeugt? Ich kann ja nicht aus Dimensionsgründen argumentieren. Bitte um schnelle Antwort. Vielen Dank Und aus Interesse: Wie würde man dass für nxn statt 2x2 allgemein zeigen?
16.02.2017, 20:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gehören Diagonalmatrizen, wie z.B. die Einheitsmatrix nicht zu den schiefsymmetrischen?
16.02.2017, 21:29	Devoreal	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, denn $\begin{eqnarray} 1\neq-1 \end{eqnarray}$
16.02.2017, 22:06	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut erkannt Um zu zeigen, dass deine Matrix zur Erzeugung aller schiefsymmetrischen 2x2-Matrizen ausreicht, könntest Du beispielsweise alle ausrechnen. $\begin{align} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a&-c\\-b&-d \end{pmatrix} \Rightarrow ... \end{align}$

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