Warum ist die Wurzelfunktion gleichmäßig stetig

17.02.2017, 09:02	überallmaddemadik	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist die Wurzelfunktion gleichmäßig stetig Meine Frage: Hallo Leute, Ich hab gerade bisschen schwierigkeiten etwas nachzuvollziehen. Undzwar soll die Wurzelfunktion auf dem Intervell $\begin{eqnarray} \left[0,\infty \right) \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig sein. Meine Ideen: Durch Umformen kommt man am Ende auf diesen Schritt: $\begin{eqnarray} \frac{\|x-y \| }{\sqrt{x}+\sqrt{y} } \end{eqnarray}$ Um zu zeigen , dass es gleichmäßig stetig ist muss ich ja nur in Abhängigkeit von delta zeigen können dass dieser Ausdruck kleiner ist als delta irgendwas. Aber ich bin doch im Intervall 0 bis unendlich, sprich mein x könnte aus 1/n^2 und mein y aus 2/n^2 kommen und somit könnte der Bruch beliebig groß werden. Also wie kommt man darauf dass die gleichmäßig stetig ist ? Hier ist die Lösung (Aufgabe3a) https://www2.informatik.hu-berlin.de/~prang/page7/page1/files/Muster9.pdf Aber ich weiß nicht was die da gemacht haben.. Hoffe mir kann jemand helfen Viele Grüße und danke im voraus
17.02.2017, 09:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist die Wurzelfunktion gleichmäßig stetig Nochmal ganz genau aufschreiben, was du für die hier geforderte gleichmäßige Stetigkeit nachweisen musst: Für jedes $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ suchst du ein $\begin{align} \delta>0 \end{align}$ , so dass für alle $\begin{align} x,y\geq 0 \end{align}$ mit $\begin{align} \|x-y\|<\delta \end{align}$ die Ungleichung $\begin{align} \left\|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right\|<\varepsilon \end{align}$ gilt. Jetzt bekommst du mit deinem Ansatz $\begin{align} \left\|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right\| = \frac{\|x-y\|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \end{align}$ in der Nähe der Null Probleme, weil der Nenner beliebig klein werden kann. Also muss man sich was anderes ausdenken: Sei o.B.d.A. $\begin{align} x\geq y \end{align}$ . Wann wird bei fester Differenz $\begin{align} d=\left\|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right\| = \sqrt{x}-\sqrt{y} \end{align}$ der Wert $\begin{align} \|x-y\|=x-y \end{align}$ maximal, d.h., was ist der Worst-Case? Nun, wenn $\begin{align} \sqrt{x}+\sqrt{y} = d+2\sqrt{y} \end{align}$ minimal wird, also bei $\begin{align} y=0 \end{align}$ , dem entspricht der Wert $\begin{align} x-y= d^2 \end{align}$ . Also legt man einfach $\begin{align} \delta=\sqrt{\varepsilon} \end{align}$ fest, mit dem Wert klappt es. () In Formeln kann man das so ausdrücken: Aus der Monotonie der Wurzelfunktion folgt $\begin{align} \sqrt{x}+\sqrt{y}\geq \sqrt{\|x-y\|} \end{align}$ und damit $\begin{align} \left\|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right\| = \frac{\|x-y\|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \frac{\|x-y\|}{\sqrt{\|x-y\|}} = \sqrt{\|x-y\|} \end{align}$ , damit ist klar, dass aus $\begin{align} \|x-y\|<\sqrt{\varepsilon} \end{align}$ unmittelbar $\begin{align} \left\|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right\| < \varepsilon \end{align}$ folgt. Das Problem ist hier, dass man es mit einer zwar gleichmäßig stetigen, aber nicht* Lipschitz-stetigen Funktion zu tun hat, was die Umgebung der Null betrifft. Die von dir versuchte Beweistechnik klappt aber nur für Lipschitz-stetige Funktionen, sie musste hier versagen. P.S.: Abschnitt (*) ist für die Argumentation nicht notwendig, er soll nur ein wenig das Zustandekommen der nachfolgenden kurzen Argumentation "motivieren".
17.02.2017, 09:53	überallmaddemadik	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist die Wurzelfunktion gleichmäßig stetig Du bist mein Held Dankeeeeee , jetzt versteh ich es endlich !! Wirklich Respekt, ich sehe hier sehr oft Beiträge von dir die einem weiterhelfen, keep it up

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