Integration: Schwierig mit arccos oder einfach mit ln?

18.02.2017, 12:13	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration: Schwierig mit arccos oder einfach mit ln? Hey, die zu lösende Funktion ist: $\begin{eqnarray} \int \frac{3x^2+1}{x^3+x^2+x} \end{eqnarray}$ Ich habe da die Nullsumme addiert von +2x -2x. Danach habe ich den Bruch getrennt und einzelnd in ein ln(u) + ln(blabla) umgerechnet. Die Musterlösung macht aber ganz abgefahrene Dinge mit arccos. Ist meine Lösung trotzdem korrekt? [attach]43934[/attach] [attach]43935[/attach] [attach]43936[/attach] Danke - Enomine
18.02.2017, 12:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Den ersten Summanden $\begin{align} \int \frac{3x^2+2x+1}{x^3+x^2+x} ~ \dd x = \ln(x^3+x^2+x) \end{align}$ hast du (fast) korrekt abhandelt (richtig wäre $\begin{align} \ln(\|x^3+x^2+x\|) \end{align}$ , was dann auch für x<0 richtig ist), beim zweiten liegst du daneben - nur mal so zur Probe: $\begin{align} (\ln(x^2+x+1))' = \frac{1}{x^2+x+1}~{\color{red}\cdot~ (2x+1)}~\neq \frac{1}{x^2+x+1} \end{align}$ , die Kettenregel gilt immer, nicht nur wenn sie einem gerade passt... Nein, das zweite Integral wird durch eine passende Substitution auf das Grundintegral $\begin{align} \int \frac{1}{t^2+1} ~ \dd t = \arctan(t) \end{align}$ zurückgeführt.
18.02.2017, 12:40	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke soweit. Das selbe Problem hatte ich jetzt auch bei $\begin{eqnarray} \int \frac{x^2+x+1}{x^3+x} \end{eqnarray}$ Dort hatte ich $\begin{eqnarray} 1,5 ln(x^2+1) + ln(x^3+x) \end{eqnarray}$ raus. Aber das ist auch anders als die Musterlösung. Kann es sein, dass ich bei $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{x^n+ax^m} \end{eqnarray}$ gar kein ln() daraus "Hochleiten" kann, wenn der Exponent 2 oder größer ist? Oder anders gesagt: Unter dem Bruchstrich, dass das x nur mit hoch 1 stehen. Ein ggf. Summand unter dem Bruchstrich ist aber erlaubt, solange er $\begin{eqnarray} ax^0 \end{eqnarray}$ lautet. Ist das so korrekt? Das heißt solange ich unter dem Bruchstrich ein ^2 habe muss ich weiter umformen und rechnen. Danke - Enomine
18.02.2017, 12:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die genialen Umwege versagen, dann gehe doch bitte nach der Standardmethode für solche rationalen Funktionen als Integranden vor: 1) Polynomdivision mit Rest (nur nötig, wenn Zählergrad > Nennergrad, hier also nicht) 2) Partialbruchzerlegung Ansatz für 2) wäre hier $\begin{align} \frac{x^2+x+1}{x^3+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \end{align}$ .

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