Landau-Notation und Quadratwurzeln

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18.02.2017, 18:40	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Landau-Notation und Quadratwurzeln Hey. Heute bin ich auf eine interessante Aufgabe mit der Landau-Notation gestoßen. Im Prinzip komme ich diesmal mit einer fertigen Lösung zu euch, da aber ein Kommilitone in der selben Aufgabe eine andere Lösung erhalten hat würde ich gerne wissen, ob meine Rechnung so in Ordnung ist, bzw. wo der Fehler liegt. Nun zur Aufgabe: Gesucht sind $\begin{eqnarray} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-e^x}} = \frac{a}{\sqrt{x}}+b\sqrt x + c\sqrt{x^3} + O(\sqrt{x^5}) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Rechnung (zunächst unkommentiert, dafür aber ausführlich): $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-e^x}} = \frac{a}{\sqrt{x}}+b\sqrt x + c\sqrt{x^3} + O(\sqrt{x^5})<br /> \Leftrightarrow <br /> 1= (e^{2x}-e^x)(\frac{a}{\sqrt{x}}+b \sqrt x + c\sqrt{x^3} + O(\sqrt{x^5})^2<br /> \Leftrightarrow<br /> 1 = (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(2x)^k}{k!} - \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!})(\frac{a}{\sqrt{x}}+b \sqrt x + c\sqrt{x^3} + O(\sqrt{x^5})^2<br /> \Leftrightarrow<br /> 1 = (1+2x+2x^2+\frac{8}{6}x^3-(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6})+o(x^3))(\frac{a^2}{x}+2ab+2acx+b^2x+2bcx^2+c^2x^3+o(x^3))<br /> \Leftrightarrow<br /> 1= (x +\frac{3}{2} x^2 +\frac{7}{6}x^3 +o(x^3))(\frac{a^2}{x}+2ab+2acx+b^2x+2bcx^2+c^2x^3+o(x^3))<br /> \Leftrightarrow<br /> 1= a^2 + x(2ab + \frac{3}{2}a)+x^2(2ac+b^2+3ab+\frac{7}{6}a^2) + o(x^3)<br /> \Rightarrow a=1 \rightsquigarrow b=-3 \rightsquigarrow c=\frac{-7}{12} \end{eqnarray}$ Ich wäre dankbar, wenn ihr mich auf Rechenfehler (oder Fehler in der Vorgehensweise) hinweisen würdet. Ich hoffe ihr könnt ich die Zeit nehmen, euch das durchzusehen.
18.02.2017, 19:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Notation und Quadratwurzeln Irgendwo ist was schiefgegangen, denn richtig ist $\begin{align} a=1,b=-\frac{3}{4},c=\frac{25}{96} \end{align}$ .
18.02.2017, 19:21	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Notation und Quadratwurzeln Oh. Das ist nicht gut. Wie kommst du auf die Lösung? Edit: Ah, wusste nicht, dass WolframAlpha auch solche Reihen entwickeln kann.
18.02.2017, 19:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine vorletzte Zeit ist fast richtig (falsch ist nur der Landau-Term): $\begin{align} 1= a^2 + x\left(2ab + \frac{3}{2}a\right)+x^2\left(2ac+b^2+3ab+\frac{7}{6}a^2\right) + o\left(x^2\right) \end{align}$ Koeffizientenvergleich ergibt $\begin{align} 1 &= a^2\\ 0 &= 2ab + \frac{3}{2}a\\ 0 &= 2ac+b^2+3ab+\frac{7}{6}a^2 \end{align}$ , und der führt auf die von mir angegebene Lösung. Weiß also nicht, was du angestellt hast, um auf deine letzte Zeile zu kommen.
18.02.2017, 19:27	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah. Ich habe $\begin{eqnarray} \frac{-\frac{3}{2}}{2} = -3 \end{eqnarray}$ gerechnet. Die Aufgabe war heute in meiner Analysis Klausur dran. Schade, dass es dann an sowas scheitert. Danke dir!
18.02.2017, 19:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens: In der Formulierung $\begin{align} \sqrt{\frac{x}{e^{2x}-e^x}} = a + bx + cx^2 + O(x^3) \end{align}$ gilt der Ansatz auch für $\begin{align} x<0 \end{align}$ .
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18.02.2017, 20:06	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das macht Sinn. Habe ganz vergessen im Startpost zu erwähnen, dass das für $\begin{eqnarray} x \searrow 0 \end{eqnarray}$ gelten soll.
18.02.2017, 21:40	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich kenne jetzt deine Uni natürlich nicht, aber nach meiner Erfahrung ist es so, dass dir dafür wahrscheinlich nicht viel abgezogen werden wird. Jeder sieht, dass das ein Struddelfehler ist und du das Prinzip verstanden hast. Es könnte natürlich auch sein, dass der Korrektor keine Lust hat, den Fehler zu suchen, aber ich würde erstmal nicht davon ausgehen, dass es "daran scheitert".
18.02.2017, 21:57	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Professor wird die Klausuren alle selbst korrigieren - wie genau er dann hin schaut, lässt sich also nicht sagen, da er mehr als 250 Klausuren zu korrigieren hat. Vielleicht kann ich ja jemanden bei der Klausureinsicht darauf hinweisen, falls es wirklich nicht bemerkt wurde. Mal sehen.

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