Z-Transformierte zu ncos(npi/2)

19.02.2017, 13:34

Luuke

Z-Transformierte zu n*cos(n*pi/2)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Vorgehensweise der Z-Transformation von Xn = n * cos(n* pi/2).
Im Zuge dieser taucht bei mir der Term:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(a/z)^n \end{eqnarray*}$ .
Vereinfacht aufgeschrieben also
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*q^n \end{eqnarray*}$ .
Wie gehe ich nun mit dem zusätzlichen n als Faktor um ?
Ohne dieses wäre das ja eine einfache geometrische Reihe aber mit dem n komme ich nicht weiter Big Laugh

Danke für jede Hilfe und falls mehr Informationen benötigt werden liefere ich sie gerne nach smile

Meine Ideen:
Mein bisheriger Ansatz war:

$\begin{eqnarray*} \cos(n * pi/2) * n = n* (1/2)*(e^{j*n*pi/2} +e^{-j*n*pi/2}) \end{eqnarray*}$

Substitution von $\begin{eqnarray*} e^{j*pi/2} \end{eqnarray*}$ = a

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow n* (1/2)*(a^{n} +a^{-n}) \end{eqnarray*}$

Was nun Z-Transformiert zu den Termen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(a)^n * (1/z)^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(1/a)^n * (1/z)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(a/z)^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(1/a*z)^n \end{eqnarray*}$
führt.
Dort habe ich nun a/z = q und 1/a*z = p Substituiert.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*q^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*p^n \end{eqnarray*}$
Daraus möchte ich nun irgentwie eine anständige gebrochen Rationale Funktion bekommen.

23.02.2017, 14:59

Scotty1701D

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RE: Z-Transformierte zu n*cos(n*pi/2)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(a)^n * (1/z)^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(1/a)^n * (1/z)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(a/z)^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(1/a*z)^n \end{eqnarray*}$

müsste richtiger
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(a)^n * (1/z)^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(1/a)^n * (1/z)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(a/z)^n + \sum\limits_{n=0}^{\infty} n*(1/(a*z))^n \end{eqnarray*}$
heißen.

Ich finde jetzt gerade kein einfache Herleitung, aber ich habe sowas schonmal so gelöst:
$\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{n=0}^{\infty} n*q^n &=&\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(n*q^{nx}\right)_{x=1} &=&\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\ln q}\cdot\frac{\partial}{\partial x}q^{nx}\right)_{x=1} &=&\frac{1}{\ln q}\left(\frac{\partial}{\partial x}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (q^x)^n\right)_{x=1} &=&\frac{1}{\ln q}\left(\frac{\partial}{\partial x}\,\frac{1}{1-q^x}\right)_{x=1} &=&\frac{1}{\ln q}\left(\frac{\ln q\cdot q^x}{(1-q^x)^2}\right)_{x=1} &=&\frac{q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

Ich denke, das müsste sogar für komplexes $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ gelten.

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