Wahrscheinlichkeit auf Kartenverkauf ohne Stockung bei Nebenbedingung

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit auf Kartenverkauf ohne Stockung bei Nebenbedingung
Hallo allerseits,
ich habe eben über eine Aufgabe nachgedacht und möchte gerne wissen, wie man bei der Lösung einer solchen Aufgabe sinnvoll vorgeht. Das Ergebnis ist mir im Prinzip egal, der Weg ist wichtig smile

Also die Aufgabe:
Zitat:

An der Kasse eines Kinos stehen 2n Personen. Eine Karte kostet 10€. Von den anstehenden Personen haben n nur 20€-Scheine und n nur 10€-Scheine dabei. In der Kasse ist zu Beginn des Kartenverkaufs kein Geld. Wie groß ist die W'keit, dass der Kartenverkauf ohne Stockungen abläuft? (D.h. es existiert kein Moment, an dem mit einem 20€-Schein gezahlt wird und die Kasse keine 10€-Scheine enthält)


Ich vermute, dass die Lösung einfach ist, aber ich komme auf keinen grünen Zweig. Mein Vorgehen war zunächst so geplant:

#1 Anzahl aller möglichen Kombinationen unter diesen Bedingungen ermitteln. (Dabei ist mir aufgefallen, dass die Position 1 und 2n fix sind und nur Positionen variiert werden können. Dann ist mir dabei aufgefallen, dass in jedem Zug die Anzahl der bereits gezahlten 10€-Scheinen mindestens oder mehr als die Anzahl, der nach dem Abschluss des Zuges gezahlten 20€ Scheinen sein muss. Also .

Ich wäre über jeden Input dankbar smile


Vorgehen:
1) Wie viele Anordnungen existieren insgesamt?
2) Statt Anzahl günstiger Ereignisse kann ich die Komplemente Zählen. (Auch das sind viele..)
3) ...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal das hier an, insbesondere die anschauliche Erläuterung des Spiegelungprinzips durch Helfer zui. Schon etwas angejahrt der Thread, aber immer noch aktuell, in deinem Fall hier ist einfacherweise . Augenzwinkern
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar gibt es Möglichkeiten. Ich gehe mal von einer Gleichverteilung aus, also ?

Die anschauliche Erläuterung kann helfen, aber anhand der Inhalte der VL absolut nicht nachvollziehbar. Ich kann die Herleitung nicht nachvollziehen. Ich hatte es versucht mir alle Möglichkeiten aufzuschreiben für n=1,...,4. Dabei habe ich .

So hatte ich versucht eine Rekursion oder Iteration zu finden, leider erfolglos.

Nun nach dem Ansatz oben:





Ich brauche also einen sehr bodenständigen Ansatz, diese Aufgabenlösung nachzuvollziehen. Graphentheorie und co. kann man für diesen Kurs vergessen. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shalec
Ich brauche also einen sehr bodenständigen Ansatz, diese Aufgabenlösung nachzuvollziehen. Graphentheorie und co. kann man für diesen Kurs vergessen. smile

Der Ansatz ist dir nicht "bodenständig" genug? Erstaunt1

Und wieso "Graphentheorie" ? Möglicherweise mag ja der eine oder andere hier Ähnlichkeiten zu irgendeinem graphentheoretischen Problem sehen, aber man benötigt absolut keine Kenntnisse aus der Graphentheorie, um diese Anzahl hier zu bestimmen. unglücklich

Zitat:
Original von Shalec
Ich kann die Herleitung nicht nachvollziehen.

Dann versuch es nochmal. Und vielleicht nochmal, und nochmal, bis es irgendwann "klick" macht - es ist wirklich sehr elementar. Kern der Argumentation ist diese Äquivalenz:

Zitat:
Original von zui
1. Jede ungünstige Kurve hat eine einzige eindeutige Hilfskurve, die zwischen (0,0) und (n+m, n-m+2) verläuft.
2. Jede Hilfskurve, die zwischen (0,0) und (n+m, n-m+2) verläuft, entspricht eindeutig einer einzigen ungünstigen Originalkurve.

Damit ist die Anzahl der "ungünstigen" Originalkurven gleich der Anzahl der Hilfskurven. Und letztere ist mit einfachsten kombinatorischen Mitteln berechenbar.
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