Sigma Regel bei Normalverteilung

21.02.2017, 00:27

justusmagcupcakes

Sigma Regel bei Normalverteilung

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Angenommen, die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert mü und der Standardabweichung Sigma. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt ein Wert der Zufallsgröße X in das Intervall mü-k*Sigma;mü+k*Sigma für k=1,2,3. Wählen Sie verschiedene Werte für mü und sigma

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)&=&P(-1\leq X \leq 1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))\\&=&2\Phi(1)-1\approx2\cdot 0.8413 - 1 = 0.6826 \end{eqnarray*}$
Diesen Lösungsansatz habe ich bereits gefunden, allerdings verstehe ich diesen nicht ganz. Wie kommt man von der ersten zu der zweiten Vereinfachung und wie kommt von zwei mü auf 0.8413?
Danke schon einmal im Voraus!

21.02.2017, 02:35

Dopap

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verschiedene Werte für $\begin{align*} \mu\,,\sigma \end{align*}$ bringen nichts da zuerst eine Transformation $\begin{align*} X \to Z \end{align*}$ erfolgt:

$\begin{align*} Z:=\frac {X-\mu}{\sigma} \end{align*}$

die zugehörige Verteilungsfunktion mit $\begin{align*} \mu=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \sigma=1 \end{align*}$ wird $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ genannt. Demnach gilt für die erste Umformung:

$\begin{align*} P(\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma)=P(-1\leq Z \leq 1)=\Phi(1)-\Phi(-1) \end{align*}$

Diese Funktion liegt hier tabellarisch vor :https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_St...ormalverteilung

wegen der Symmetrie zu x=0 aber nur für x>0. Deshalb muss man für negative Argumente die Symmetrie

$\begin{align*} \Phi(-x)= 1-\Phi(x) \, \, x > 0 \end{align*}$ benutzen und erhalten

$\begin{align*} \Phi(1)-\Phi(-1)=\Phi(1)-(1-\Phi(1))=\Phi(1)-1+\Phi(1)=2\Phi(1)-1 \end{align*}$

in der Tabelle steht bei x=1.0 der Wert 0.84134.

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Bisher war k=1, es fehlen noch k=2 und k=3 für die 2 und 3 Sigma-Regel.

21.02.2017, 17:25

justusmagcupcakes

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ist für k=2 0.99545 richtig und für k=3 0.9973 ? smile

21.02.2017, 17:45

Dopap

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Das stimmt, falls
2*0.97725-1= 0.99545 und
3*0.99865-1= 0.9973 ist.

Meist wird die Regel umgekehrt angewandt:

Das Ergebnis soll 5% sowie 1% betragen. Was sind dann jeweils $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ?

21.02.2017, 17:51

justusmagcupcakes

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Ja, das ist gerade unsere nächste Aufgabe. Wir sollen nun k für p=0,9 ausrechnen. Habe jetzt als Ansatz 2*k-1=0,9. Stimmt das? Bin irgendwie gerade durcheinander :/

21.02.2017, 17:54

Dopap

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ja, das ist richtig.

Mit 5% und 1% meinte ich natürlich das Gegenereignis.

21.02.2017, 18:00

justusmagcupcakes

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und dann habe ich ja für x=0,8 und dann hat man doch in der Tabelle ebenfalls einen Wert von 0,8 oder?

21.02.2017, 18:31

Dopap

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Zitat:

Original von justusmagcupcakes
Ja, das ist gerade unsere nächste Aufgabe. Wir sollen nun k für p=0,9 ausrechnen. Habe jetzt als Ansatz 2*k-1=0,9. Stimmt das? Bin irgendwie gerade durcheinander :/

Das ist falsch.

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(k)-1=0.9 \end{eqnarray*}$ muss es heissen.

21.02.2017, 18:37

justusmagcupcakes

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tut mir leid, hatte gerade einen kleinen Rechenfehler smile

hab ich jetzt nicht theoretisch einfach mü+0,95*Sigma=0,9 und mü-0,95*Sigma=0,9? und dann? Tut mir leid, habe gerade einfach so ein Brett vor dem Kopf

21.02.2017, 19:11

Dopap

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Das ist unmöglich.

$\begin{eqnarray*} 2\Phi(k)-1=0.9 \end{eqnarray*}$ muss es heißen. oder

$\begin{eqnarray*} \Phi(k)=0.95 \end{eqnarray*}$ und jetzt im Inneren der Tabelle nach 0.95 suchen. Am Besten ist 0.94950 . Der zugehörige x oder k Wert ist 1.64

Also : $\begin{eqnarray*} \Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\approx 0.9 \end{eqnarray*}$

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