Wichtige konvergente und divergente Reihen

21.02.2017, 20:02	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtige konvergente und divergente Reihen Meine Frage: Hi, als Vorbereitung zur kommenden Klausur wollte ich mir, für das Majoranten und Minorantenkriterium, mal die wichtigsten konvergenten und divergenten Reihen merken. Im Internet finde ich dazu leider keine Tabelle oder ähnliches, mit den nützlichsten. Ich weiß von: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} = divergent \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^{2} } = konvergent \end{eqnarray}$ Kennt jemand noch ein paar nützliche, die öfters mal gebraucht werden?
22.02.2017, 08:35	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wichtige konvergente und divergente Reihen Oh je, das kann ja eine beliebig lange Aufzählung werden. Adhoc kann ich noch diese beisteuern: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } q^k \end{eqnarray}$
22.02.2017, 09:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Connor Deine beiden Reihen kann man zusammenfassen (und erweitern) zu einer generellen Aussage über $\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} \end{align}$ mit reellem Parameter $\begin{align} s \end{align}$ : a) divergent für alle $\begin{align} s\leq 1 \end{align}$ , b) konvergent für alle $\begin{align} s>1 \end{align}$ . Beider Nachweis kann leicht mit dem ebenfalls sehr wichtigen Cauchyschen Verdichtungskriterium geführt werden.

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