RLC-Reihenschaltung mit Laplace

22.02.2017, 20:44

DannyNRW

RLC-Reihenschaltung mit Laplace

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe und habe Probleme im letzten Schritt zur Rücktransformation.
Gegeben ist eine Reihenschaltung, bestehend aus je einem R, L sowie C.

Ich stelle die Masche auf und gehe in den Laplacebereich über:
$\begin{eqnarray*} R*i(t) + \frac{1}{sc}*i(t) + sl*i(t) = \frac{U}{s} \end{eqnarray*}$

Das ganze wird nach i(t) umgestellt:
$\begin{eqnarray*} \frac{U}{s\left(R+\frac{1}{sc}+sl \right) } \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich den Ausdruck ja so umbauen, dass ich irgendeinen Ausdruck aus der Laplacetabelle zur Rücktransformation nehmen kann, aber da hakt es bei mir. Im Idealfall sollte das "s" isoliert vor der Klammer stehen.
Bin für jeden Tipp dankbar.

22.02.2017, 21:04

HAL 9000

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RE: RLC-Reihenschaltung mit Laplace
Ich verstehe dein $\begin{align*} i(t) \end{align*}$ nicht: Wenn du per Laplace-Transformation vom Zeitbereich in den Frequenz-/Spektralbereich transformierst, sollte es doch $\begin{align*} i(s) \end{align*}$ heißen...

Stelle doch einfach um: $\begin{eqnarray*} i(s) = \frac{U}{Ls^2 + Rs + \frac{1}{C}} \end{eqnarray*}$

22.02.2017, 21:16

DannyNRW

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Genau, das kommt ja dann heraus, wenn ich die Klammer ausmultipliziere.
Aber nun muss das ganze ja noch rücktransformiert werden und ich wüsste nicht, auf welche Tabelle der Ausdruck passt, den Du als letztes geschrieben hast @ Hal 9000

22.02.2017, 21:17

DannyNRW

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Sorry, mit i(s) hast Du natürlich Recht, da wir uns ja bereits im Bildbereich befinden.

22.02.2017, 21:21

HAL 9000

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Das weitere Vorgehen hängt von der Größe von $\begin{align*} R \end{align*}$ ab. Bei vergleichsweise kleinen $\begin{align*} R \end{align*}$ würde man per quadratischer Ergänzung umformen

$\begin{align*} i(s) = \frac{U}{L} \cdot \frac{1}{\left(s + \frac{R}{2L}\right)^2 + \frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}} = \frac{U}{L} \cdot \frac{1}{\left(s + \frac{R}{2L}\right)^2 + \omega^2} \end{align*}$

wenn man $\begin{align*} \omega := \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}} \end{align*}$ definiert - was natürlich nur geht, wenn der Radikand positiv ist (das meinte ich mit $\begin{align*} R \end{align*}$ "vergleichsweise klein"). Jetzt solltest du aber langsam sehen, wie man das rücktransformiert.

22.02.2017, 21:49

DannyNRW

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Ich versuche gerade nachzuvollziehen, wie Du auf Deinen ersten Ausdruck gekommen bist. Deine zweite Zeile ist dann soweit klar.

22.02.2017, 22:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von DannyNRW
Ich versuche gerade nachzuvollziehen, wie Du auf Deinen ersten Ausdruck gekommen bist.

Also wirklich, muss man denn wirklich Yoda zitieren: "Tu es oder tu es nicht. Es gibt kein versuchen." Augenzwinkern

Wie ich schon geschrieben hatte, es handelt sich einfach um eine quadratische Ergänzung.

02.03.2017, 17:57

DannyNRW

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So, jetzt mal wieder hier...

An dieser Stelle die Frage:
Du musst ja irgendwie wissen, wie Du auf diesen Ausdruck gekommen bist @ Hal9000. Ich sehe auf Anhieb nur, dass Du den gesamten Ausdruck durch L dividiert hast. Wenn ich das mache, komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{U}{L} * \frac{1}{s\frac{R}{L}+\frac{1}{LC}+s^2 } \end{eqnarray*}$

Der Rest erschließt sich mir gerade nicht so richtig.

Wir machen es mit der Rücktransformation zumindest so, dass wir uns dafür einen passenden Ausdruck aus der Laplacetabelle heraussuchen und dann rücktransformieren.
Zu Deinem Ausdruck habe ich aus der Tabelle heraus nichts passendes finden können.

Eine weitere Frage, was das "Omega" angeht: Lässt sich dieses einfach frei definieren?

02.03.2017, 20:01

HAL 9000

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Kurz gesagt: In einer Woche nichts, aber rein gar nichts getan, trotz all der Hinweise.

Du hast doch irgendwann mal eine Schule besucht, und da auch quadratische Funktionen kennengelernt, da sollte dir der Begriff quadratische Ergänzung nicht so fremd sein - falls nicht, dann hättest du ihn wenigstens mal nachschlagen können, nachdem ich ihn oben schon zweimal erwähnt hatte. unglücklich

Nun gut, dann mal ganz ganz langsam und ausführlich: Durch Ausklammern im Nenner ist $\begin{align*} i(s) = \frac{U}{L\left(s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}\right)} \end{align*}$ .

Der Klammerterm wird nun quadratisch ergänzt, d.h., es wird ein vollständiges Binom der Struktur $\begin{align*} x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2 \end{align*}$ abgetrennt:

$\begin{align*} s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC} = s^2+2\cdot \frac{R}{2L}s+ \left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \left(\frac{R}{2L}\right)^2 + \frac{1}{LC} = \left( s+ \frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{R^2}{4L^2} + \frac{1}{LC} \end{align*}$

Definiert man nun $\begin{align*} \omega := \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}} \end{align*}$ , dann kannn man die Gleichungskette fortsetzen, d.h.

$\begin{align*} s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC} = \left( s+ \frac{R}{2L}\right)^2 + \omega^2 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von DannyNRW
Wir machen es mit der Rücktransformation zumindest so, dass wir uns dafür einen passenden Ausdruck aus der Laplacetabelle heraussuchen und dann rücktransformieren.

Genau darum gehts.

Zitat:

Original von DannyNRW
Zu Deinem Ausdruck habe ich aus der Tabelle heraus nichts passendes finden können.

Dann sieh mal richtig hin:

$\begin{align*} \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{\omega}{s^2+\omega^2} \right\} = \sin(\omega t) \end{align*}$ .

In Verbindung mit Dämpfungssatz $\begin{align*} \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s+a) \right\} = e^{-at} f(t) \end{align*}$ ergiibt das

$\begin{align*} \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} \right\} = e^{-at} \sin(\omega t) \end{align*}$ ,

nichts anderes steht oben, und zwar mit $\begin{align*} a=\frac{R}{2L} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von DannyNRW
Eine weitere Frage, was das "Omega" angeht: Lässt sich dieses einfach frei definieren?

Warum denn nicht? $\begin{align*} R,L,C \end{align*}$ sind nur Konstanten, also kann man daraus ohne weiteres eine weitere Konstante definieren. Es spräche höchstens dagegen, wenn das Symbol $\begin{align*} \omega \end{align*}$ bei dir anderweitig vergeben ist - dann nimm halt ein anderes Symbol.

Richtig ist natürlich, dass $\begin{align*} \frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}>0 \end{align*}$ gelten muss, was ich oben bereits erwähnt hatte. Der Fall $\begin{align*} \frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}\leq 0 \end{align*}$ (aperiodischer Grenzfall sowie Kriechfall) wird bei derlei Schaltungen normalerweise nicht angestrebt (keine Schwingung), man kann ihn natürlich mathematisch trotzdem diskutieren. Aber behandeln wir erstmal den Schwingungsfall.

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