Dirichlet-Kriterium

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Starflag Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichlet-Kriterium
Hey,

kann mir vielleicht einer das Dirichlet-Kriterium erklären. Ich verstehe überhaupt nicht, was es bedeutet und wozu man es praktisch benutzt (vielleicht hat ja jemand eine nicht zu abstrakte Reihe auf die man es mal anwenden könnte Big Laugh ). Die Herleitung verstehe ich auch nicht wirklich, in der Übung wurde uns der "Trick" einfach vorgesetzt ohne Erklärung. Alle anderen Konvergenzkriterien für Reihen verstehe ich, nur bei dem weiß ich einfach nicht, wann man es überhaupt benutzen würde.

Danke schonmal smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Starflag
(vielleicht hat ja jemand eine nicht zu abstrakte Reihe auf die man es mal anwenden könnte Big Laugh )

Gern geschehen: smile
Starflag Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das Dirichlet-Kriterium richtig verstanden habe gilt nun, dass deine Reihe konvergiert, weil

1/n eine Nullfolge ist und sin(n) beschränkt ist. Jedoch weiß ich auch, dass eine Reihe nicht zwingend konvergieren muss, wenn die Reihenglieder eine Nullfolge bilden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Starflag
Also wenn ich das Dirichlet-Kriterium richtig verstanden habe gilt nun, dass deine Reihe konvergiert, weil

1/n eine Nullfolge ist und sin(n) beschränkt ist.

Ersteres ja, zweiteres nein - lies dir das Kriterium noch mal genau durch:

Es reicht nicht, dass beschränkt ist. Es muss hier vielmehr begründet werden, dass beschränkt ist, damit das Dirichlet-Kriterium angewandt werden darf!

EDIT: Bei ersterem fehlt noch der Hinweis, dass es eine monotone Nullfolge ist, was hier erfüllt ist.
Starflag Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht aber nicht weil doch der sin keine Nullfolge ist --> Reihe divergiert, d.h. auch nicht beschränkt.

Mit dem Majorantenkriterium kommt man auch auf die harmonische Reihe, die auch divergiert.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Reihe divergiert, d.h. auch nicht beschränkt.


Das ist eben falsch. Eine divergente Reihe muss nicht unbeschränkt sein.
 
 
Starflag Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Zitat:
Reihe divergiert, d.h. auch nicht beschränkt.


Das ist eben falsch. Eine divergente Reihe muss nicht unbeschränkt sein.


Okay also für Folgen verstehe ich das ganze ja aber bei Reihen? Wie kann eine Reihe denn nicht konvergent sein, wenn sie doch beschränkt ist. Klar, wenn ich für die n-te Partialsumme 1/10000 habe, dann nähert sie sich irgendwann einem Grenzwert an. Ich dachte nur dann wäre sie konvergent. Außerdem wäre dass dann doch eine konvergente Majorante?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn dir das für Folgen klar ist, warum dann nicht für Reihen? Jede Reihe ist eine Folge und auch umgekehrt.
Wenn irgendeine Folge ist, dann ist . Insbesondere könntest so eine beschränkte aber divergente Folge als Reihe darstellen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der konkrete Nachweis zur Beschränktheit kann z.B. so aussehen: Für gilt

.


P.S.: Was beschränkte, aber nicht konvergente Reihen betrifft, können wir auch erstmal mit einem einfacheren Beispiel starten: .

Dies ist übrigens dann auch der Spezialfall, der Dirichlet zu Leibniz macht. Augenzwinkern
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