Irreduzibilität prüfen

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razzbs Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität prüfen
Hey Leute,

ich habe alle mal alle irreduziblen Polynome vom Grad <= 3 erstellt. Ich befinde mich im Körper


Grad 0: Habe ich nur die 1, die ist eine Einheit -> folglich auch nicht irreduzibel.
Grad 1: (sind immer irreduzibel)




Grad 2:




Grad 3:








Meine Frage:
Meine Frage wäre, wie ich nun prüfen kann, ob ich nun prüfen, kann ob ein Polynom wirklich irreduzibel ist?

Meine Idee:
Wenn ich nun prüfen will ob beispielsweise das erste Polynom ( irreduzibel ist, nehme ich mir die irreduziblen Polynome aus Grad 2 zur Hilfe und mache eine Division. Wenn die Division des zu prüfenden Polynoms durch eins der irreduziblen Polynome vom Grad 2 aufgeht, dann ist es NICHT irreduzibel, also reduzibel.

Wäre diese Vorgehensweise korrekt?

Vielen Dank euch! Ihr habt mir schon viele Fragen beantwortet und mein Algebra-Verständnis auf ein neues Level gebracht smile

Viele Grüße

Chris
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du ALLE irreduziblen Polynome eines gewissen Grades auflisten willst, dann wäre folgende Vorgehensweise denkbar:

Grad 2: Alle normierten Polynome ( Stück) abzüglich der Zweierprodukte von Linearfaktoren ( Stück), macht 3 Stück.

Grad 3: Alle normierten Polynome ( Stück) abzüglich der Dreierprodukte von Linearfaktoren ( Stück) sowie der Produkte von einem Linearfaktor mit einem irreduziblen Polynom zweiter Ordnung ( Stück), macht 8 Stück.


Da du nur 7 hast, scheint was nicht in Ordnung zu sein - im Detail:

ist nicht irreduzibel, ebensowenig .

Dafür fehlen drei in der Liste:

, und .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht auch einfacher. Wenn ein Polynom vom Grad 3 durch ein Polynom vom Grad 2 teilbar ist, so bleibt als weiterer Faktor ein Polynom vom Grad 1 übrig. Dieses Polynom vom Grad 1 hat eine Nullstelle, die auch Nullstelle des Polynoms vom Grad 3 ist. Es genügt also immer, Polynome bis Grad 3 auf Nullstellen zu untersuchen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Bis einschließlich Grad 3 ist es doch am einfachsten und schnellsten, einfach zu gucken, ob die Polynome eine Nullstelle haben. Dann sind sie reduzibel, weil man dann ja auf jeden Fall einen Linearfaktor abspalten kann. Haben sie keine Nullstelle, sind sie irreduzibel. Denn jede mögliche Zerlegung müsste ja einen Linearfaktor enthalten.

Da du in Z3 bist, ist das ja ruckzuck ausprobiert, es gibt ja nur drei Elemente, die du einsetzen kannst.

Aber bedenke, dass das bei Grad 4 (und höher) natürlich nicht mehr funktioniert, weil es da auch Zerlegungen in zwei Polynome von Grad 2 geben kann.

Edit: Sorry, ich geb ab.
razzbs Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Vielen Dank euch allen smile

Wenn ich aber ein Polynom habe, welches einen Grad > 3 besitzt, dann benutze ich die Polynomdivision als Hilfe?

Viele Grüße

Chris
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Grad 4 gilt zunächst ebenfalls Elvis' Argument: Auf Nullstellen prüfen.

Hat es keine Nullstellen, dann gibt es nur noch folgenden möglichen Grund für Reduzibilität: Es ist ein Produkt zweier irreduzibler Polynome zweiter Ordnung. Insofern könnte die Polynomdivision durch alle drei derartigen Polynome Aufschluss bringen, ja.
 
 
razzbs Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Vielen Dank smile
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