Differenzierbarkeit abschnittsweise definierter Funktionen

23.02.2017, 12:59

Daniel_09

Differenzierbarkeit abschnittsweise definierter Funktionen

Meine Frage:
Hey,

ich bräuchte Hilfe zu meiner Vorgehensweise bei folgender Aufgabe.

Siehe Bild

Meine Ideen:
Voraussetzung für die Differenzierbarkeit wäre zunächst einmal zu untersuchen, ob die Funktion stetig ist.
Dazu muss ich überprüfen ob der links- und rechtsseitige Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gleich ist.

Muss ich dann bei der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = -2 \end{eqnarray*}$ folgendes überprüfen ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow x_0} 1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow x_0} 2*e^{-x} = 2e^2 \end{eqnarray*}$

Diese sind nicht gleich und damit ist die Funktion an dieser Stelle nicht stetig und somit auch nicht differenzierbar.

An der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow x_0} 2*e^{-x} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow x_0}x^2+2*|x-1|= 2 \end{eqnarray*}$

Somit ist die Funktion an dieser Stelle schon mal stetig.
Also schaue ich mir als nächstes die Ableitungen an.

$\begin{eqnarray*} -2e^{-x} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} 2x+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left|x-1\right|} \end{eqnarray*}$

Dann wieder den Grenzwert bestimmen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow x_0} -2*e^{-x} = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow x_0} 2x+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left|x-1\right|}= -2 \end{eqnarray*}$
Damit ist die Funktion an der stelle $\begin{eqnarray*} x_1= 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Für $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$ betrachte ich nur noch den links- und rechtseitigen Grenzwert der Ableitung des letzten Funktionsabschnitts.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 1} 2x+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left|x-1\right|}= 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 1} 2x+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left|x-1\right|}= 0 \end{eqnarray*}$

Die Grenzwerte sind unterschiedlich damit ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_2= 1 \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Ist mein vorgehen soweit richtig ? Hätte man es vielleicht auch mit weniger Aufwand lösen können?

23.02.2017, 15:38

HAL 9000

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Hmm, du verwendest mehrfach - vielleicht ohne es zu ahnen - folgende Aussage:

Zitat:

Ist $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ stetig und existiert in einer linksseitigen [bzw. rechtsseitigen] Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ die Ableitung $\begin{align*} f'(x) \end{align*}$ mit existentem Grenzwert $\begin{align*} g=\lim_{x\nearrow x_0} f'(x) \end{align*}$ [bzw. $\begin{align*} g=\lim_{x\searrow x_0} f'(x) \end{align*}$ ], dann ist $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ linksseitig [bzw. rechtsseitig] differenzierbar mit $\begin{align*} f_-'(x_0)=g \end{align*}$ [bzw. $\begin{align*} f_+'(x_0)=g \end{align*}$ ].

Das ist richtig - dir sollte allerdings auch klar sein, warum. Habt ihr das irgendwann bewiesen, oder verwendest du das intuitiv?

Ansonsten bin ich mit den Ausführungen einverstanden - mit Ausnahme des letzten Satzes:

Zitat:

Original von Daniel_09
Die Grenzwerte sind unterschiedlich damit ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_2= 1 \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

Hier fehlt vor dem letzten Wort ein nicht, was natürlich den Sinn komplett umkehrt. Ich nehme an, dass diese Unterlassung nur ein Schusselfehler war?

23.02.2017, 17:48

Daniel_09

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Ich habe mir zu dem Thema bereits mehrere Videos angeschaut die veranschaulicht haben wie man dahin kommt Augenzwinkern

Und beim letzten Satz fehlte natürlich das "nicht" Augenzwinkern

Danke für die Hilfe smile

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