n-Einheitswurzeln

23.02.2017, 16:54

Atled

n-Einheitswurzeln

Hallo,
ich habe eine Frage zu den n-Einheitswurzeln.
Es geht um die Aufgabe $\begin{eqnarray*} z^{6} = -1 \end{eqnarray*}$ .
Mit der Formel $\begin{eqnarray*} e^{(i*2*\pi*k)/n} \end{eqnarray*}$ komme ich leider auf die Einheitswurzeln von $\begin{eqnarray*} z^{6} =1 \end{eqnarray*}$ . Die sechs Einheitswurzeln von -1 sind genau um 90° gedreht.

Wie kommt es zu dieser Drehung bzw. wie verwende ich die -1 in der Formel ?

Grüße
Atled

23.02.2017, 17:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Atled
Mit der Formel $\begin{eqnarray*} e^{(i*2*\pi*k)/n} \end{eqnarray*}$ komme ich leider auf die Einheitswurzeln von $\begin{eqnarray*} z^{6} =1 \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja auch nicht die richtige Formel für dein Anliegen. unglücklich

Wie bestimmt man die $\begin{align*} n \end{align*}$ komplexen Lösungen von $\begin{align*} z^n = a \end{align*}$ für gegebene komplexe Zahl $\begin{align*} a \end{align*}$ richtig?

1) Polardarstellung von $\begin{align*} a \end{align*}$ bestimmen, d.h., $\begin{align*} (r,\varphi) \end{align*}$ mit $\begin{align*} a = re^{i\varphi} \end{align*}$ .

2) Die Lösungen von $\begin{align*} z^n=a \end{align*}$ sind $\begin{align*} z_k = \sqrt[n]{r}\cdot e^{i\frac{\varphi+2k\pi}{n}} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{align*}$ .

Im vorliegenden Fall ist $\begin{align*} a=-1 = 1\cdot e^{i\pi} \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} r=1,\varphi=\pi \end{align*}$ .

23.02.2017, 17:27

Atled

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Danke für die Aufklärung, leider komme ich immer noch nicht weiter.
Ich rechne so,

$\begin{eqnarray*} |r|=\sqrt[2]{(-1)^2+(0)^2} =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{0} =\sqrt[6]{1} * e^{(i*\pi*2*0)/6} =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1} =\sqrt[6]{1} * e^{(i*\pi*2*1)/6} =e^{i*1/3*\pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2} =\sqrt[6]{1} * e^{(i*\pi*2*2)/6} =e^{i*2/3*\pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3} =\sqrt[6]{1} * e^{(i*\pi*2*1)/6} =e^{i*\pi } =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{4} =\sqrt[6]{1} * e^{(i*\pi*2*1)/6} =e^{i*4/3*\pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{5} =\sqrt[6]{1} * e^{(i*\pi*2*1)/6} =e^{i*5/3*\pi } \end{eqnarray*}$

Dabei müsste es gar keine reellen Lösungen geben.

Grüße

23.02.2017, 17:57

HAL 9000

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Bist du des Lesens mächtig? Oder bist du nur ein Automat, der unreflektiert die alten Antworten erneut ausgibt?

Zitat:

Original von HAL 9000
2) Die Lösungen von $\begin{align*} z^n=a \end{align*}$ sind $\begin{align*} z_k = \sqrt[n]{r}\cdot e^{i\frac{{\color{red}\varphi}+2k\pi}{n}} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{align*}$ .

Im vorliegenden Fall ist $\begin{align*} a=-1 = 1\cdot e^{i\pi} \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} r=1,{\color{red}\varphi=\pi} \end{align*}$ .

23.02.2017, 18:26

Atled

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Nein, bin ich nicht. Das phi habe ich tatsächlich übersehen. Danke für deine Hilfe jetzt komme ich auf die richtigen Ergebnisse. Eine Frage habe ich allerdings noch, gibt es bei den Einheitswurzeln einen Fall bei dem phi ungleich pi ist ?

Einen schönen Abend wünsche ich !

23.02.2017, 18:32

HAL 9000

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Ja klar, bei komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , die nicht auf der negativen reellen Achse liegen.

23.02.2017, 18:37

Atled

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Ach ja klar, blöde Frage. Danke nochmal und schönen Abend !

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