DGL-System |
| 23.02.2017, 19:09 | Mathegurke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| DGL-System Hallo, als Teil einer Aufgabe zum Thema Methode der Charakteristiken bin ich auf folgendes Problem gestossen: x'(t)=y(t) y'(t)=-x(t) x(0)=0 und y(0)=a Die Lösung ist x(t)=a*sin(t) und y(t)=a*cos(t), was mir beim Einsetzen oben auch vollkommen klar geworden ist. Welche Methode wird hier angewendet? Ich stehe wohl gerade auf dem Schlauch, aber ich finde nur Lösungswege, deren Ergebnisse von der Form x(t)=c1*e^(lambda1*t) + c2*e^(lambda2*t) oder so ähnlich sind. Meine Ideen: Der Ansatz u'(t)= A*u(t) führte mich nicht zum Ziel. Auch TdV oder Variation der Konstanten helfen mir nicht weiter. Ich weiss, dass ein Ansatz vom Typ der rechten Seite Ergebnisse mit sin(t) und cos(t) liefert, eine 'rechte Seite' von dieser Form ist hier aber nicht vorhanden. |
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| 23.02.2017, 19:25 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na das passt doch, und zwar mit . |
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| 23.02.2017, 19:32 | grosserloewe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: dgl System
Du leitest x'(t)=y(t) ab. und setzt das ein: erhälst dann die charakt. Gleichung: usw. |
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| 23.02.2017, 20:53 | Mathegurke1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke sehr an alle, eben habe ich ich es gelöst: Durch Ableiten und Einsetzen erhält man y''(t)+y(t)=0. Die Nullstellen d. ch. Polynoms sind Komplex: la1= 0 + 1*i und la2= 0 + (-1)*i Für Im(la1) ungleich Im(la2) gilt Formel: u(t) = C1*(e^(Re(la1)*t))*cos(Im(la1)*t) + C2*(e^(Re(la1)*t))*sin(Im(la1)*t) Es folgt: y(t) = C1*cos(t) + C2*sin(t) Aus y(0)=a folgt C1=a Ableiten ergibt -y'(t) = x(t) = a*sin(t) - C2*cos(t) Aus x(0)=0 folgt C2=0 Und siehe da: x(t)=a*sin(t) y(t)=a*cos(t) Also Nachdenken lohnt sich.. |
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