Algebraisch abgeschlossene Körper

24.02.2017, 19:44	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraisch abgeschlossene Körper Hey, Ich habe hier eine Frage zur Definition von algebraisch abgeschlossenen Körpern, und zwar: Wir haben definiert, ein Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante Polynom aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ besitzt. Dazu äquivalent sind dann 1. Jedes irreduzible Polynom aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ hat Grad $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und 2. Jede algebraische Erweiterung von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ hat Erweiterungsgrad $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Die erste Äquivalenz erscheint mir klar, angenommen, jedes irreduzible Polynom aus $\begin{eqnarray} K[x] \end{eqnarray}$ mit Grad $\begin{eqnarray} \geq 2 \end{eqnarray}$ hat eine Nullstelle in algebraisch abgeschlossenem $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , diese können wir abspalten und das verbleibende Polynom hat Grad $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ , also ein Widerspruch zur Irreduzibilität des Polynoms. Bei Punkt 2 komme ich dann aber nicht mehr ganz mit. Also ich komme soweit, dass wenn wir ein $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ wählen, das algebraisch über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist, das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ Grad $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ hat nach der ersten Äquivalenz, und da $\begin{eqnarray} [K(a):K] \end{eqnarray}$ gleich dem Grad des Minimalpolynoms ist, ist der Grad der algebraischen Erweiterung $\begin{eqnarray} K(a)\|K \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Ich gehe auch davon aus, dass diese Argumentation über die Minimalpolynome schon den ganzen Beweis bilden, aber ich verstehe nicht, wieso damit bereits alle algebraischen Erweiterungen abgedeckt sind? Wieso Könnte ich z.b. nicht zwei verschiedene algebraische Elementa an $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ adjungieren zu $\begin{eqnarray} K[a_1,a_2] \end{eqnarray}$ und dadurch eine algebraische Erweiterung erhalten mit Grad $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , wenn die einzelnen Minimalpolynome die ich zur Adjunktion von $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ brauche beide je Grad $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ haben? Die Frage ist vermutlich ziemlich blöd aber mir fehlt momentan noch ein gewisses bildliches Verständnis wie diese Erweiterungen aussehen können. Danke schon mal im Voraus
24.02.2017, 19:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} K(a_1,a_2)=K(a_1)(a_2)=K(a_2)=K \end{eqnarray}$ jede algebraische Erweiterung über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K ist gleich K Bildliche Vorstellung: von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ kommt man zu $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ und keinen (algebraischen) Schritt weiter.
25.02.2017, 18:27	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, ich glaube langsam leuchtet es mir ein. Also sind im Endeffekt auch Erweiterungen vom Grad 1 niemals echte Erweiterungen, oder? Scheint irgendwie auch logisch jetzt, gäbe es eine echte Erweiterung $\begin{eqnarray} M\|K \end{eqnarray}$ vom Grad 1, dann müsste die Basis von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ aus einem Element bestehen und die Basis von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ leer sein, was ja nicht sein kann, kann man das so sagen? Vielen Dank
25.02.2017, 18:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eine Erweiterung $\begin{eqnarray} M/K \end{eqnarray}$ vom Grad 1 hat eine einelementige Basis $\begin{eqnarray} a\in M \end{eqnarray}$ . Für dieses $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} xa=1\in K\subseteq M \end{eqnarray}$ , wegen $\begin{eqnarray} 1=a^{-1}a\in K \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x=a^{-1}\in K \end{eqnarray}$ , also weiter $\begin{eqnarray} a=(a^{-1})^{-1}\in K \end{eqnarray}$ . Damit ist für alle $\begin{eqnarray} b\in M: b=ya \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y\in K \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} b\in K \end{eqnarray}$ , worau $\begin{eqnarray} K=M \end{eqnarray}$ folgt. (Der Beweis ist sicher richtig, aber es wäre denkbar, dass ich mich hier ein wenig verkünstelt habe, und dass es einen kürzeren und/oder eleganteren Beweis gibt.)
27.02.2017, 19:58	alina94	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr schön, danke nochmal
02.03.2017, 17:37	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis Ich nehme mal an, du wolltest nicht einfach mit dem Minimalpolynom argumentieren, dass dann Grad 1 haben muss. Woraus automatisch folgt, dass $\begin{eqnarray} a\in K \end{eqnarray}$ . Damit wäre dann $\begin{eqnarray} K=M \end{eqnarray}$ .
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02.03.2017, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, so wollte ich nicht argumentieren, weil das ja schon in der Frage stand, und weil alina94 gerade das nicht verstanden hatte.

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