Starkes Gesetz der großen Zahlen

24.02.2017, 20:47	Didier	Auf diesen Beitrag antworten »
Starkes Gesetz der großen Zahlen Meine Frage: Hallo zusammen, und zwar bräuchte ich etwas Hilfe um zu beweisen, dass Folgender Ausdruck gegen den Erwartungswert der Exponentialverteilung konvergiert. $\begin{eqnarray} $\frac{1}{N_n}\sum_{k=0}^{N_n-1}(T_{k+1}-T_k)$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $T_i$ \end{eqnarray}$ sind Eintrittszeitpunkte eines Poisson Prozesses und $N_n$ ist die Anzahl der Ereignisse. Somit ist klar, dass $\begin{eqnarray} $N_n \rightarrow \infty$ \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} $n \rightarrow \infty$ \end{eqnarray}$ f.s. gilt. Meine Ideen: Mein Problem ist nur, dass $\begin{eqnarray} $N_n$ \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable ist und somit die Situation eben eine leicht abgeänderte im Vergleich zu starken Gesetz der großen Zahlen. Kennt jemand einen Satz für so etwas? Eventuell eine Verallgemeinerung des SGdGZ. Wäre sehr dankbar für etwaige Tipps/Hilfestellungen.
26.02.2017, 15:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiere dir einen stochastischen Prozess auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} M_n = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(T_{k+1}-T_k) \end{eqnarray}$ . Mit der natuerlichen Filtration solllte das ein Martingal sein (ggf. kompensieren, bin da kein Fachmann.) Dann kann man jede Menge Saetze mit "Doob" im Namen verwenden. Ggf. waeren Rueckwaertsmartingale auch besser. Aber ich wuerde mal etwas in die Richtung versuchen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »