Metrik, Umgekehrte Dreiecksungleichung(?)

25.02.2017, 11:41

Mark7

Metrik, Umgekehrte Dreiecksungleichung(?)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

der Titel des Threads mag vlt. etwas irreführend sein, da ich mir nicht wirklich sicher bin ob man meine Aufgabe wirklich als umgekehrte Dreiecksungleichung definieren kann...

Es gilt folgendes zu zeigen. Sei $\begin{eqnarray*} (X, \dd) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \in X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |\dd (x_1,x_2)- \dd (x_2,x_3)|\le \dd (x_1,x_3) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe versucht auf die Dreieckungleichung zu kommen, also ausgehend von der gegebenen Aussage, um das Problem zu lösen, komme aber irgendwie nicht recht weiter.
$\begin{eqnarray*} \dd (x_1,x_2)+ \dd (x_2,x_3)\ge \dd (x_1,x_3) \Leftrightarrow \dd (x_2,x_3)\ge \dd (x_1,x_3) - \dd (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\dd (x_1,x_2)- \dd (x_1,x_3) + \dd (x_1,x_2)|\le \dd (x_1,x_3) \Leftrightarrow |2\dd (x_1,x_2)- \dd (x_1,x_3)|\le \dd (x_1,x_3) \end{eqnarray*}$

Was mir aber auch nicht wirklich richtig aussieht... Komme wie gesagt nicht wirklich weiter und wäre für ein paar Tipps sehr dankbar.

Gruss Mark7

25.02.2017, 12:11

SHigh

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RE: Metrik, Umgekehrte Dreiecksungleichung(?)
Hallo,

ich würde eine Fallunterscheidung machen, um den Betrag wegzubekommen:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \dd (x_1,x_2)- \dd (x_2,x_3) \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du benutzen, dass für eine Metrik $\begin{eqnarray*} d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) \end{eqnarray*}$ (Dreiecksungl.), sowie $\begin{eqnarray*} d(x,y)=d(y,x) \end{eqnarray*}$ (Symmetrie) gilt:

$\begin{eqnarray*} |d(x_1,x_2)-d(x_2,x_3)|=d(x_1,x_2)-d(x_2,x_3) \leq d(x_1,x_3) + d(x_3,x_2) - d(x_2,x_3) =\dots. \end{eqnarray*}$

Der 2. Fall geht fast analog.

25.02.2017, 13:34

Mark7

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Zuerst mal vielen Dank für die schnelle Antwort.

Die Idee mit der Fallunterscheidung verstehe ich soweit, leider komme ich damit auch nicht so wirklich ans Ziel... Das einzige was mir an dieser Stelle einfällt ist auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} d(x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ zu addieren: $\begin{eqnarray*} d(x_1,x_2) \leq d(x_1,x_3) + d(x_3,x_2) \end{eqnarray*}$ . Dann sollte das doch nach der Dreiecksungleichung so aussehen: $\begin{eqnarray*} d(x_1,x_2) \leq d(x_1,x_3) + d(x_3,x_2)\leq d(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow d(x_1,x_3) \leq d(x_1,x_2) - d(x_3,x_2) \end{eqnarray*}$ . Was ja auch keinen Sinn macht..

Tut mir Leid, aber ich sehe es im Moment leider überhaupt nicht...

25.02.2017, 14:03

SHigh

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Ich hab dir die Rechnung vorgeführt, nur noch ein Schritt fehlt bis zum Ziel.

Zitat:

Dann kannst du benutzen, dass für eine Metrik $\begin{eqnarray*} d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) \end{eqnarray*}$ (Dreiecksungl.), sowie $\begin{eqnarray*} d(x,y)=d(y,x) \end{eqnarray*}$ (Symmetrie) gilt:

Die Dreiecksungl. habe ich doch schon benutzt:

$\begin{eqnarray*} |d(x_1,x_2)-d(x_2,x_3)|=d(x_1,x_2)-d(x_2,x_3) \overset{\Delta-Ungl.}\leq d(x_1,x_3) + d(x_3,x_2) - d(x_2,x_3) \end{eqnarray*}$

Jetzt benutze die Symmetrie

$\begin{eqnarray*} d(x_3,x_2)=d(x_2,x_3) \end{eqnarray*}$

und fertig bist du. Wie gesagt, der 2. Fall geht fast analog.

25.02.2017, 14:23

Mark7

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Hoppla, ich habe deinen Beitrag leider völlig falsch gelesen... Bin davon ausgegangen, dass du bei deiner ersten Umformung quasi $\begin{eqnarray*} + 1 -1 \end{eqnarray*}$ , einfach direkt mit der Symmetrie im Hinterkopf, gerechnet hast...

Auf jeden Fall danke für die Aufklärung, hat soweit funktioniert!^^

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