Mehrfachintegrale Fubini

25.02.2017, 17:38

leodavinci

Mehrfachintegrale Fubini

Meine Frage:
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Meine Ideen:
Nach Fubini kann man ja die Integrationsreihenfolge vertauschen. Aber wie kommt man auf die neuen Integrationsgrenzen?

25.02.2017, 19:13

Mathema

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Hast du dir dein Integrationsgebiet mal aufgemalt?

25.02.2017, 19:26

leodavinci

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Mehrfachintegrale Fubini
Im ersten Fall müsste ich doch ein Dreieck haben, bei dem eine Kathete auf der x-Achse liegt und die Hypotenuse wird durch meine Winkelhalbierende gebildet. Aber müsste mein zweiter Integrationsbereich dann nicht y=0 bis y=1 & x =y bis x = 1 heißen?
Ich habe immer Schwierigkeiten mit den Integrationsgrenzen, die ne Variable mit dabei stehen haben unglücklich

26.02.2017, 11:36

Mathema

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Zitat:

Im ersten Fall müsste ich doch ein Dreieck haben, bei dem eine Kathete auf der x-Achse liegt und die Hypotenuse wird durch meine Winkelhalbierende gebildet.

Zitat:

Aber müsste mein zweiter Integrationsbereich dann nicht y=0 bis y=1 & x =y bis x = 1 heißen?

Dann würdest du aber über das Dreieck mit den Ecken (0,0), (0,1) und (1,1) integrieren. Du würdest also das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \int_{0}^{x} \!e^{y^2} \, \dd y \dd x \end{eqnarray*}$ berechnen. Da dieses nicht der Fall ist sind die Grenzen natürlich so zu wählen, wie es die Lösung vormacht.

26.02.2017, 14:57

leodavinci

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Mehrfachintegrale Fubini
Das ist mir irgendwie noch nicht klar. Also wie genau man diese Variablen in den Intgeralgrenzen interpretiert. Im ersten Integral wird ja ganz normal mein x-Bereich festgelegt. Aber wie komme ich durch die zweiten Intgeralgrenzen mit der Variable auf mein Integrationsgebiet?
Bei dem hier $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \! ... \, dx \end{eqnarray*}$ habe ich das so gemacht:
x geht von 0 bis 1, das ist klar. Und y geht von y=x bis 1. y=x ist die Winkelhalbierende. Was mir jetzt aber hieran schon nicht klar wird, ist warum ich als obere Grenze die 1 habe. Wenn x zwischen 0 und 1 ist, sagt y=x doch schon aus, dass es nicht größer als 1 werden kann.

26.02.2017, 19:00

Mathema

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Hallo,

sorry, ich habe dir Blödsinn erzählt. Ich habe auch die Dreiecke vertauscht. Also noch mal von vorne:

Du sollst das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \! ...dydx \end{eqnarray*}$ berechnen. Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} x \leq y \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq x \leq1 \end{eqnarray*}$

Das beschreibt also das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (1,1) und (0,1).

Zitat:

Aber müsste mein zweiter Integrationsbereich dann nicht y=0 bis y=1 & x =y bis x = 1 heißen?

Dieses würde das andere Dreieck beschreiben. Das kannst du hier nachlesen:

Integration mit Fubini

Mea Culpa.

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