Reguläre Überlagerung

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alcardaalanda Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen.

Ich habe folgende Definition einer quasiplatonischen Kurve kennengelernt. Und zwar heißt eine kompakte Riemannsche Fläche von Geschlecht quasiplatonisch, wenn sie eine Belyi-Funktion besitzt, welche eine reguläre Überlagerung ist (auch normale Überlagerung genannt). Insbesondere ist also über drei Punkten verzweigt, oBdA über , und .

Nun habe ich folgende Situation: Gegeben sei jetzt eine kompakte Riemannsche Fläche von Geschlecht mindestens und wir haben eine endliche Gruppe , welche als Gruppe von Automorphismen treu/effektiv auf wirkt und zwar derart, dass isomorph ist zu und die Überlagerung über drei Punkten verzweigt ist.

Dies ist ein wesentlicher Bestandteil der Definition einer sogenannten Beauvillefläche, mit denen ich mich gerade beschäftige. Und in sämtlichen Papers wird dann gesagt, dass hier dann "offensichtlich" quasiplatonisch ist oder es fallen Sätze wie "Da die Überlagerung in diesem Fall regulär ist.... "
Ich aber sehe das leider nicht und vielleicht denke ich auch zu kompliziert. Wieso ist denn hier regulär?

Wenn wir einen Punkt wählen, über dem unverzweigt ist, dann entspricht die Anzahl der Urbilder doch gerade der Mächtigkeit der Gruppe, oder?

Außerdem ist die Mächtigkeit des Urbilds in einem Punkt doch gerade die Länge der Bahn. Also ist für das Urbild eines unverzweigten Punkte die Mächtigkeit der Gruppe gleich der Länge der Bahn, also wirkt frei auf den Fasern über unverzweigten Punkten, oder?

Wenn ich jetzt wüsste, dass auch transitiv auf den Fasern wirkt, dann würde ja das Gewünschte folgen, wenn ich mich nicht irre, aber leider sehe ich das nicht. Das liegt bestimmt an der Endlichkeit der Gruppe, aber irgendwie bekomme ich das Puzzle nicht zusammen. Vielleicht kann mir jemand von euch ja helfen. Vielen Dank schonmal. smile


Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

Mmmh, also ich muss hier einfach nochmal nachfragen, denn je mehr ich darüber nachdenke, desto spanischer kommt mir alles vor. Vielleicht kennt dieses Gefühl der Ein oder Andere von euch ja auch. Ich versuche mal, meine Gedankengänge ganz einfach darzustellen:

Also wir betrachten ja den Bahnenraum unter der Wirkung von . Über jedem Punkt von (oder genauer gesagt sind die Punkte ja Äquivalenzklassen) ist das Urbild unter gerade die Bahn.

Nehme ich jetzt einen Punkt in her, über dem unverzweigt ist, so hat die entsprechende Bahn "maximale Länge", um es mal salopp zu sagen. Insbesondere muss die Gruppe frei auf der Faser wirken, denn gäbe es einen Fixpunkt, so wäre dieser ja ein ramification point (hätte also Multiplizität ) unter und wäre über dem Bild folglich verzweigt.

Außerdem sind die Elemente aus allesamt Decktransformationen der Überlagerung, da es Automorphismen von sind, für die offensichtlich gilt .

Also wirkt die Gruppe frei auf der Faser über einem unverzweigten Punkt und da das Urbild unter ja gerade die Bahn ist, haben wir also für ein beliebiges , dass , womit die Gruppenwirkung in der Tat transitiv auf den Fasern wirkt (mehr oder weniger trivialerweise) und somit wäre wie gewünscht eine reguläre Überlagerung.

Ist es wirklich so einfach und ich hab einfach die ganze Zeit viel zu kompliziert gedacht oder habe ich hier noch einen Denkfehler?
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