Halbkreisfläche durch Satz von Stokes( Kein VF gegeben )

26.02.2017, 13:33	Hevar	Auf diesen Beitrag antworten »
Halbkreisfläche durch Satz von Stokes( Kein VF gegeben ) Meine Frage: Hallo,ich hänge seit Gestern Abend bei dieser Aufgabe fest und wäre für jede Hilfe sehr dankbar . "Sei die Halbkreisfläsche gegeben durch H := {(x, y) ?R² : y ? 0, x²+y²? 1} Man berechne A(H) mit dem Satz von Stokes." Meine Ideen: ich habe die kurve Parametrisiert mit $\begin{eqnarray} \gamma :[0,1]\Rightarrow \mathbb R² ; t\Rightarrow (t,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma :[0,\pi ]\Rightarrow \mathbb R² ; t\Rightarrow (cos(t),sin(t)) \end{eqnarray}$ Nun bin ich beim Schritt mit der Integration über die Randkurve und weiss nicht wie ich $\begin{eqnarray} \int F(\gamma (t))\cdot \gamma`(t)dt \end{eqnarray}$ berechnen soll ohne das Vektorfeld "F" gegeben ist.
26.02.2017, 15:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} \int_H \dd (x,y) \end{align}$ zu berechnen. Der Integrand ist konstant 1. Um den Satz von Stokes anwenden zu können, braucht man ein Vektorfeld $\begin{align} (u,v) \end{align}$ , so daß $\begin{align} v_x - u_y = 1 \end{align}$ ist (die tiefgestellten Indizes mögen die partiellen Ableitungen bezeichnen). Da gibt es mehrere Möglichkeiten, zum Beispiel $\begin{align} (u,v) = (0,x) \end{align}$ oder $\begin{align} (u,v) = (-y,0) \end{align}$ oder $\begin{align} (u,v) = \left( - \frac{1}{2}y \, , \, \frac{1}{2} x \right) \end{align}$ und viele weitere. Nach dem Satz von Stokes gilt für jede dieser Möglichkeiten $\begin{align} \int_H \dd (x,y) = \int_{\partial H} \left( u ~ \dd x + v ~ \dd y \right) \end{align}$ Am schnellsten geht die Rechnung mit meinem dritten Vorschlag, da es hier auf den trigonometrischen Pythagoras hinausläuft. Deine Parametrisierung des Randes stimmt nicht ganz (mal abgesehen von der merkwürdigen Schreibweise mit dem Doppelpfeil). Für die Strecke muß $\begin{align} t \in [-1,1] \end{align}$ sein. Der Fehler würde sich allerdings nicht auswirken, da dieses Teilstück bei Kurvenintegral so oder so 0 liefert.
26.02.2017, 16:25	Hevar	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort, ja der teil mit [0,1] -->R² war wohl ein Tippfehler sollte von [-1,1] laufen und diese Komischen Schreibweisen kommen wohl daher das ich mit dem "Latex" nicht Ganz klar gekommen bin Gilt die selbe Bedingung auch für den Satz von Gauß? Damit hätte sich meine Frage geklärt ,Danke nochmal. Mfg Hevar

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