Vollständige Induktion

26.02.2017, 13:43

Katha63

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo, ich fange demnächst an zum Sommersemester zu studieren und lerne schon mal ein bisschen im Vorraus smile

Ich komme bei dieser Induktion irgendwie gerade nicht weiter auch wenn es wahrscheinlich sehr leicht ist und ich nur nicht den Trick sehe Big Laugh

Wäre für eine kurze Auflösung dankbar.

\sum\limits_{k=0}^{n-1} 1/2^k = 2(1-1/2^n) , für n aus den natürlichen Zahlen

Meine Ideen:
Induktionsanfang und Vorraussetzung sind klar, auch wie ich die Vorraussetzung im Induktionsschritt einsetze. Ich komme hier nicht weiter:

2 - 2/2^n + 1/2^n

Danke smile

26.02.2017, 13:48

Mathema

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Huhu Katha,

toll, dass du dich im Voraus (mit einem r) schon etwas auf dein Studium vorbereitest! Freude

Was ergibt denn - 2/2^n + 1/2^n? verwirrt

26.02.2017, 13:52

Katha63

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Ergibt das etwa schon 2(1 - 1/2^n+1) ? verwirrt

Hmm dann verstehe ich aber nicht ganz wieso traurig

Wieso ergibt es nicht 2(1 - 1/2^n) einfach durch abziehen? verwirrt

26.02.2017, 13:55

Mathema

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Du sollst noch nicht 2 ausklammern. Beantworte doch erstmal nur meine Frage. Da steht die Summe von zwei (gleichnamigen) Brüchen. Man addiert zwei Brüche, indem... Lesen2

26.02.2017, 13:58

Katha63

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indem die Zähler addiert werden, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben. Weil sie das in diesem Fall haben würde ich einfach -2 + 1 rechnen. Hmm ich merke gerade ich bin etwas durcheinander geschockt

Kannst du mir sagen wo ich mich gerade vertue? Vielen Dank auf jeden Fall für deine Hilfe! smile

26.02.2017, 14:03

Mathema

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Zitat:

Weil sie das in diesem Fall haben würde ich einfach -2 + 1 rechnen.

Ja, dann mache das doch mal. Wir erhalten also:

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{2}{2^n} + \frac{1}{2^n}=2-\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Und wenn wir nun noch 2 ausklammern wollen, müssen wir den zweiten Bruch nur noch ... Idee!

26.02.2017, 14:05

Katha63

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Vielen Dank, natürlich wird die 2 aus dem Nenner rausgezogen, das ich das nicht gesehen habe Big Laugh

Danke für deine Hilfe smile

26.02.2017, 14:11

Mathema

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Zitat:

natürlich wird die 2 aus dem Nenner rausgezogen

Ich weiß nicht genau was du damit meinst. Der zweite Bruch wird mit 2 erweitert.

$\begin{eqnarray*} 2 - \frac{2}{2^n} + \frac{1}{2^n}=2-\frac{1}{2^n}=2-\frac{2}{2\cdot 2^n}=2-\frac{2}{2^{n+1}}=2\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$

Gerne - dir noch einen schönen Sonntag!

Wink

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