µ-Operator auf Funktionen anwenden

26.02.2017, 16:22	Putnik	Auf diesen Beitrag antworten »
µ-Operator auf Funktionen anwenden Hallo, es geht um folgende Funktion: $\begin{eqnarray} <br /> f(n, x) = x - 3n<br /> h(n, x, y) = n - x^2 - y^2 \end{eqnarray}$ Wie gebe ich an, welche Funktionen von µf und µh berechnet werden? Gibt es da eine einfache Erklärung?
03.03.2017, 12:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f:\mathbb N^2\to \mathbb N,(n,x)\mapsto x-3n \end{eqnarray}$ ist eine partielle Funktion, weil z.B. $\begin{eqnarray} 1-3\cdot 1=-2 \end{eqnarray}$ eine ganze, aber keine natürlich Zahl ist. Der $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -Operator macht daraus eine partielle Funktion $\begin{eqnarray} \mu f:\mathbb N\to \mathbb N, x\to \mu f(x) \end{eqnarray}$ , diese partielle Funktion sucht zu $\begin{eqnarray} x\in\mathbb N \end{eqnarray}$ das kleinste $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} f(n,x)=x-3n=0 \end{eqnarray}$ ist. Dann ist $\begin{eqnarray} x=3n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} n=\frac x 3 \end{eqnarray}$ , dieses $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist durch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt, also auch das kleinste $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Das geht dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ teilbar ist. Die partielle Funktion $\begin{eqnarray} \mu f \end{eqnarray}$ hat also die folgenden Werte: $\begin{eqnarray} \mu f(0)=0, \mu f(1)=\mu f(2)= \end{eqnarray}$ undefiniert $\begin{eqnarray} \mu f(3)=1, \mu f(4)=\mu f(5)= \end{eqnarray}$ undefiniert $\begin{eqnarray} \mu f(6)=2, \mu f(7)=\mu f(7)= \end{eqnarray}$ undefiniert usw. Erklärung gibt Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%9C-Rekursion $\begin{eqnarray} \mu h \end{eqnarray}$ zu berechnen ist sogar noch einfacher.

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