Wettbewerb! Beweis Teilbarkeit [War: Eine sehr schwere Aufgabe.]

26.02.2017, 19:45	holyduc	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Teilbarkeit [War: Eine sehr schwere Aufgabe.] Meine Frage: Wir haben eine natürliche Zahl n. Nimmt man nun das Produkt der Zahlen von n+1, n+2, usw. bis 2n, ist dieses Produkt immer durch n! teilbar. Meine Frage, wie kann man das beweisen, was ist die Begründung für diese Besonderheit? Meine Ideen: Diese Besonderheit stammt eigl. aus einer Aufgabe: Die Zahlenfolge a0, a1, a2, ... sei rekursiv definiert durch die Vorschrift $\begin{eqnarray} a_{0} \end{eqnarray}$ = 1 und $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a_{n-1} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} (4 - \frac{2}{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} , n>1 \end{eqnarray}$ für die war zu beweisen, dass für jedes $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl sein muss. Durch Umformungen kommt man auf z.Z: $\begin{eqnarray} a_{n} =\frac{(n+1)(n+2)...2n}{n!} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ EDIT(Helferlein): Verschoben in die Hochschul-Analysis, da das Rätselforum nur für solche Aufgaben gedacht ist, deren Lösung dem Einsteller bereits bekannt ist.
26.02.2017, 19:58	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Aussage (den Begriff Besonderheit finde ich hier sehr seltsam, es ist nicht sonderlich besonders) ist äquivalent zur Aussage, dass der Binomailkoeffizient $\begin{eqnarray} \binom {2n}{n} \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl ist. Dafür gibt es einige Beweise, je nach dem aus welcher Richtung man Binomialkoeffizienten aufbaut.
26.02.2017, 23:32	Scotty1701D	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine sehr schwere Aufgabe. Naja, irgendwie finde ich es ziemlich dreist, diese Aufgabe hier einzustellen, da es such dabei um eine der aktuellen Aufgaben des Bundeswettbewerbs Mathematik handelt.
27.02.2017, 00:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Daher wird dieser Thread * geschlossen * mY+

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