Norm, Theorem von Hahn-Banach

28.02.2017, 16:15

ksgfan

Norm, Theorem von Hahn-Banach

Hallo,
ich weiss nicht wie man die Aufgabe lösen sollte geschockt

Ich brauche ein Tip...

Sei $\begin{eqnarray*} X = R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\circ\| \end{eqnarray*}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Definieren Sie

$\begin{eqnarray*} \|y\|_*:=sup\{<x,y>:\|x\| \le 1\} \end{eqnarray*}$

a) Nehmen Sie an, dass $\begin{eqnarray*} \|y\| < \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in R^n \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie, dass dann $\begin{eqnarray*} \|\circ\|_* \end{eqnarray*}$ auch eine Norm ist.

b) Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \|x\|_{**}:=sup\{<x,y>:\|y\| \le 1\}\le \|x\| \end{eqnarray*}$

und schliessen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \|\circ\|_{**} \end{eqnarray*}$ auch eine Norm ist.

c) Zeigen Sie mit Hahn Banach Theorem dass $\begin{eqnarray*} \|x\| \le \|x\|_{**} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

d)Schliessen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \|x\|_{**} = \|x\| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

Liebe Grüsse
Dawid

01.03.2017, 07:39

ollie3

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RE: Norm, Theorem von Hahn Banach
Hallo,
bei a) und b) wird dir nichts anderes übrig bleiben, als die 3 eigenschaften, die eine norm haben
muss, einzeln nachzuprüfen... Augenzwinkern

gruss ollie3

01.03.2017, 12:42

IfindU

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RE: Norm, Theorem von Hahn Banach

Zitat:

Original von ksgfan
$\begin{eqnarray*} \|x\|_{**}:=sup\{<x,y>:\|y\| \le 1\}\le \|x\| \end{eqnarray*}$

Ich vermute es sollte $\begin{eqnarray*} \|x\|_{**}:=sup\{<x,y>:\|y\|_* \le 1\}\le \|x\| \end{eqnarray*}$ heissen. Und bin wieder weg.

02.03.2017, 11:18

ksgfan

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IfindU - Stimmt, mein Fehler.

Ich kann mich überhaupt nicht in dieses Thema finden. Kann mir bitte jemand auf deutsch erklären, worum es in der Aufgabe geht?

Ich sehe das so aus, dass ich eine Menge X habe und dazu eine Norm. Dann definiere ich eine Norm $\begin{eqnarray*} ||y||_* \end{eqnarray*}$ .

Aber was beutetet der Stern? Ist es wie p-Norm ?

$\begin{eqnarray*} ||y||_* = (\sum_{i=1}^N |x_i|^p)^{1/p} \end{eqnarray*}$ ?

Und warum ist dann $\begin{eqnarray*} ||x|| < 1 \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2017, 11:54

ollie3

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Hallo,
nein, das hast du falsch verstanden, das mit dem stern soll nicht die p-norm sein, sodern
genau die in der aufgabe definierte norm, naemlich das supremum, das das skalarprodukt in
dieser menge annehmen kann. Und wie gesagt, man muss hier die abstrakten eigenschaften,
die jede norm haben muss, anwenden...
gruss ollie3

02.03.2017, 12:16

IfindU

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@ollie

Ich vermute hier wurde noch mehr unterschlagen. Ich nehme an $\begin{eqnarray*} y \in (\mathbb R^n)^* \end{eqnarray*}$ , also im Dualraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} y : \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige, lineare Abbildung. Gerne schreibt man dann $\begin{eqnarray*} \langle x, y \rangle_{X, X^*} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ . Aber das kann wohl nur ksgfan beantworten.

02.03.2017, 13:51

ksgfan

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Stimmt, es geht um Dualnorm.

Wie steht jetzt $\begin{eqnarray*} ||y||_* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||\circ|| \end{eqnarray*}$ in Beziehung zueinander?

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