Komplexe Lösungen

28.02.2017, 21:26

Starflag

Komplexe Lösungen

Gesucht sind die komplexen Lösungen von

$\begin{eqnarray*} z^3=-\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} i \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} i = -e^{i\frac{\pi}{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^3= -e^{(i\frac{\pi}{6})^3} = -e^{i\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Meine Frage, wenn der Realteil negativ ist, packe ich ja ein Minus vor das e? und falls der Imaginärteil negativ ist dann auch im Exponenten oder?

Jedenfalls erhalte ich dann für zo= -sqrt(3)/2 - i/2, z1= sqrt(3)/2 - i/2 und z2=i

Die richtigen Werte wäre alle das negative von meinen, weswegen ich mir jetzt unsicher bin, wo der Fehler ist.

28.02.2017, 23:46

mYthos

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RE: komplexe Lösungen

Zitat:

Original von Starflag
...
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{1}{2} i = -e^{i\frac{\pi}{6}} \end{eqnarray*}$
...

Dieser Ansatz - das Minus "vor das e packen" - passt nicht! Dadurch ist dann auch der Winkel falsch.
Du solltest auf der rechten Seite

$\begin{eqnarray*} .. = e^{i\frac{5\pi}{6}} \end{eqnarray*}$

schreiben. So.
Nun kannst du den Winkel durch 3 teilen und jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}3 \end{eqnarray*}$ hinzufügen ...

mY+

01.03.2017, 17:54

Starflag

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Ich verstehe nicht genau wie du auf diesen Winkel kommst...

Sqrt (3)/2 + i/2 ist doch e^(pi/6).

01.03.2017, 19:16

Dopap

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der Realteil ist doch negativ, schon vergessen?

01.03.2017, 19:51

Starflag

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Ach so könnt ihr natürlich nicht wissen...das Problem ist, ich darf phi nicht mit dem Taschenrechner bestimmten sondern muss es so ''wissen''. Deswegen habe ich auch erst pi/6 genommen, weil der mir bekannt war. Hat jemand zufällig eine Liste, wo ich die wichtigsten Werte für phi nachlesen kann? Dankeschön smile

01.03.2017, 20:13

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \frac \pi 6 \end{eqnarray*}$ auf der "anderen Halbebene" ist schon halbwegs richtig.

Hier eben $\begin{eqnarray*} \varphi = \pi - \tfrac16 \pi \end{eqnarray*}$

Die vielen Winkelbeziehungen macht man sich am Einheitskreis klar.

kleine Köpfstütze für prominente Werte:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	phi sinphi 0° 0.5 W0 30° 0.5 W1 45° 0.5 W2 60° 0.5 W3 90° 0.5 W4

cos andersherum und tan = sin/ cos.

Das weiß man eben auswendig ! Punkt.

01.03.2017, 23:15

mYthos

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Wobei man Dopap's etwas kryptische Tabelle näher erklären muss (wenn die speziellen Werten nicht so bekannt sind):

W .. = Quadratwurzel

also ist $\begin{align*} W1 = 1, \ W2 = \sqrt2, \ W3 = \sqrt 3, \ ... \end{align*}$

mY+

02.03.2017, 09:09

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Dopap
Die vielen Winkelbeziehungen macht man sich am Einheitskreis klar.

Schnell sieht man da zum Beispiel die Diagonale eines Quadrates bei 45° oder die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks bei 60°. Viel mehr braucht man gar nicht (und wird zumindest selten erwartet).

Viele Grüße
Steffen

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