Differentialgleichung Variablentransformation

28.02.2017, 21:50	.unknown.	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Variablentransformation Meine Frage: Hallo zusammen Ich komme bei folgender Aufgabe gerade nicht weiter: $\begin{eqnarray} x' = t^{n-1}f(\frac{x}{t^n}) \end{eqnarray}$ Mache eine Variablentransformation mit $\begin{eqnarray} y = \frac{x}{t^n} \end{eqnarray}$ . Und löse die Differentialgleichung. Das liefert mir $\begin{eqnarray} y' = \frac{f(y)-yn}{t} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hier habe ich aber ein Problem. Wie löse ich diese Differentialgleichung? Trennung der Variablen sollte laut Skript funktionieren $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{f(y)-yn} \, dy = \int \! \frac{1}{t} \, dt \end{eqnarray}$ aber ich weiss ja nicht wie genau $\begin{eqnarray} f(y) \end{eqnarray}$ aussieht bzw. wie ich hier integrieren soll. Danke schonmal für eure Hilfe
01.03.2017, 08:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung ist ok bis zur Gleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{dy}{dt}=\tfrac{f(y)-ny}{t} \end{eqnarray}$ Wenn du dies mit dem Bruch $\begin{eqnarray} \tfrac{dt}{f(y)-ny} \end{eqnarray}$ multiplzierst und danach integrierst, kommst du auf die Lösung in deinem Skipt $\begin{eqnarray} \int \tfrac{dy}{f(y)-ny}=\int \tfrac{dt}{t} \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite kann man die Integration explizit ausführen und erhält $\begin{eqnarray} \int \tfrac{dy}{f(y)-ny}=\ln(t)-\ln(C) \end{eqnarray}$ Dabei ist C eine Integrationskonstante, die man zum Erfüllen der Anfangsbedingung benötigt. Umstellen ergibt $\begin{eqnarray} t=\exp \left ( \int \tfrac{dy}{f(y)-ny}\right)+C \end{eqnarray}$ Man hat in diesem Falle keine Lösung in der gewohnten Form y=y(t), sondern in der Form t=F(y). Das ist aber genauso wertvoll.
01.03.2017, 11:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem du alles so schön vorbereitet hattest, schlägt der Fehlerteufel im allerletzten Moment zu: Natürlich meinst du $\begin{align} t=\exp \left ( \int \tfrac{dy}{f(y)-ny}\right) ~{\color{red}\cdot}~C \end{align}$ .
01.03.2017, 14:06	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Hal 9000 Danke.

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