DGl System erster Ordnung in Dgl umschreiben

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Mathemus Auf diesen Beitrag antworten »
DGl System erster Ordnung in Dgl umschreiben
Meine Frage:
Hallo Leute.
Ich habe folgende Problemstellung und ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen:
Betrachtet werden zwei Populationen. Seien x(t) die Größe der Beute-Population und y(t) die
Größe der Räuber-Population, jeweils für Zeit t. Das Lotka-Volterra-Modell f¨ur die zeitliche
Entwicklung ist:

mit Parametern auf .
Das System soll ich nun in eine Dgl auf einer Kurve in D umschreiben und danach entscheiden ob es eine exakte DGL ist.

Meine Ideen:
Bisher ist mir dieses Problem leider unbekannt, bzw. kenne es nur in umgekehrter Reihenfolge. Trotzdem wäre hier mein Ansatz eine der beiden Gleichungen abzuleiten und entsprechend einzusetzen, sodass ich nur noch eine der Variablen über habe in eine der Gleichungen. Genau da will es aber nicht funktionieren und ich frage mich ob ich überhaupt den richtigen Ansatz gewählt habe. Ich würde mich über Hilfe wahnsinnig freuen. LG
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gegeben ist

___________Gleichung (1)
___________Gleichung (2)

Mit der Kettenregl kann man schreiben . Damit ersetzt man die linke Seite der Gleichung (2) und erhält



Darin ersetzt man den Ausdruck mit der Gleichung (1) und erhält



Multiplikation mit dem Differenzial dx und Umordnen ergibt



Dies kann man als Skalarprodukt schreiben



Diese Gleichung ist exakt, wenn für das Vektorfeld gilt



Setze das Vektorfeld dort ein und prüfe, wann diese Bedingung erfüllt ist!
Mathemus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Vielen Dank. Habe es dadurch lösen können.
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