Beweis Eigenschaften von Abbildungen, Kompositionen

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lost1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Eigenschaften von Abbildungen, Kompositionen
Meine Frage:
Hallo,

ich schreibe demnächst eine Klausur in Mathe 1. Ich bin ziemlich sicher, dass eine Teilaussage des folgenden Satzes bewiesen werden muss. Daher würde ich gerne meine Beweise von euch auf Korrektheit und logische Nachvollziehbarkeit prüfen lassen.

Satz
Seien und Abbildungen. Dann gilt:
1) Sind und injektiv, dann auch .
2) Ist injektiv, so auch .
3) Ist surjektiv, so auch .
4) Ist surjektiv und injektiv, so ist injektiv.
5) Ist injektiv und surjektiv, so ist surjektiv.

Meine Ideen:
Beweis
1) Behauptung: ist injektiv:
Also: (da g injektiv ist)
(da f injektiv ist)
(da f injektiv ist)


2) Behauptung: ist injektiv:
Angenommen ist nicht injektiv. Dann gilt:
Seien also . Dann gilt:

Dies ist ein Widerspruch zur Anahme, da ist injektiv.

3) Behauptung: ist surjektiv:
Also: (da surjektiv ist)

(da f rechtseindeutig ist)

4) Behauptung: ist injektiv:
Also: (da injektiv ist)

(da f rechtseindeutig ist)
(da f surjektiv ist)

5) Behauptung: ist surjektiv:
Also: (da surjektiv ist)

(da g injektiv ist)


Scotty1701D Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Eigenschaften von Abbildungen, Kompositionen
Aussagen der Form zeigt man, indem man und beliebig wählt.
Also: Sei (Ich halte hier Klammern für notwendig.)



Also ist injektiv.
Äuivalenzpfeile machen die Sache unnötig kompliziert, da man dann über zwei Richtungen nachdenken muss!
Lost1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, bei 1. verstehe ich das.

Wie würde man einen Direkten Beweis bei 2. durchführen?
Wie würde man Existenzquantoren beweisen?

Habe ich den Beweis für 3. wie folgt richtig gemacht?

Sei beliebig.
Da surjektiv ist, gilt:
für ein

da f rechtseindeutig

Viele Grüße
Scotty1701D Auf diesen Beitrag antworten »

In 2. einfach durch Einsetzen in g und Anwenden der Injektivität
Die Existenz in 3. zeigt man durch die Existenz für die übergeordnete Funktion.
Das sieht bei dur richtig aus.
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