Beweis Noetherscher Homomorphiesatz

02.03.2017, 20:14

alina94

Beweis Noetherscher Homomorphiesatz

Hey,

ich hab hier nen Beweis zum 2. Homomorphiesatz bei dem ich mir nicht ganz sicher bin, und zwar ist hier eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und Normalteiler $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gegeben, sowie die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \phi: U \rightarrow UN/U, u \rightarrow uN \end{eqnarray*}$ .

Wir wissen schon, dass $\begin{eqnarray*} UN \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist und wir schließen aus

$\begin{eqnarray*} \phi (U) = \left\{ uN: u \in U\right\} = \left(\bigcup_{u \in U} uN \right) / N = UN/N \end{eqnarray*}$

die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Bei der 2. Gleichheit in der Formel bin ich mir aber nicht sicher, ist nicht $\begin{eqnarray*} \left\{ uN: u \in U\right\} = U/N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{u \in U} uN \right) / N = \left\{ xN: x \in \bigcup_{u \in U} uN\right\} \end{eqnarray*}$ ?
Dann wäre im Endeffekt also $\begin{eqnarray*} UN/N = U/N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} UN = U \end{eqnarray*}$ , aber das wäre doch zu einfach? Komm gerade einfach nicht darauf, was ich hier übersehe, danke schon mal smile

04.03.2017, 09:56

Elvis

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http://www.uni-math.gwdg.de/skripten/Alg...ipt/algebra.pdf siehe 1.4

05.03.2017, 19:56

alina94

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Dieses Skript hatte ich tatsächlich auch schon gefunden, der Beweis hier scheint mir auch logisch, nur sah der Satz bei uns leicht anders aus, wir hatten noch gezeigt, dass der Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in (c) und in meiner Formel surjektiv ist, dazu bräuchte ich diese Gleichheit die ich nicht verstehe... dass dann $\begin{eqnarray*} UN/N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U/U \cap N \end{eqnarray*}$ isomorph sind ist ja wie hier auch gesagt offensichtlich nach dem Homomorphiesatz.

06.03.2017, 11:21

Elvis

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Deine Gleichungen sind falsch.
$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , aber keine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , deshalb ist $\begin{eqnarray*} U/N \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert.
Was du mit der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{xN:x\in\bigcup_{u \in U}uN\right \} \end{eqnarray*}$ ausdrücken möchtest, erschließt sich mir nicht.
Ganz sicher ist $\begin{eqnarray*} UN/N\ne U/N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} UN\ne U \end{eqnarray*}$ , und nichts ist einfach.

07.03.2017, 20:21

alina94

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na, dass hier etwas falsch ist habe ich mir fast gedacht, sonst hätte ich nicht gefragt.
Mit $\begin{eqnarray*} \left\{ xN: x \in \bigcup_{u \in U} uN \right\} \end{eqnarray*}$ meine ich die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ uN: u \in U\right\} / N \end{eqnarray*}$ ihrer Definition nach, wir hatten definiert

$\begin{eqnarray*} G/U := \left\{ gU: g \in G\right\} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings scheint hier ja nun der Fehler (den ich nicht finde) zu stecken, weil man von dieser Menge nicht zur Menge $\begin{eqnarray*} UN/N \end{eqnarray*}$ kommt.

08.03.2017, 11:20

Elvis

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Deine eigenen Definitionsversuche funktionieren nicht. Man kann nicht die Menge der Nebenklassen nach $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ faktorisieren sondern nur eine Gruppe, in der $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Normalteiler ist.
$\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe, wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist. Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} UN \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} UN \end{eqnarray*}$ , deshalb macht $\begin{eqnarray*} UN/N \end{eqnarray*}$ wieder Sinn. $\begin{eqnarray*} UN=\{un:u\in U,n\in N\} \end{eqnarray*}$ .
Wie du im Beweis im Skript erkennst, braucht man für den Beweis des Isomorphiesatzes auch noch, dass $\begin{eqnarray*} U \cap N \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist (das ist so, weil ein Kern eines Homomorphismus ein Normalteiler ist), deshalb kann man auch $\begin{eqnarray*} U/(U\cap N) \end{eqnarray*}$ faktorisieren.

08.03.2017, 20:19

alina94

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ok, das leuchtet ein. Dass $\begin{eqnarray*} U \cap N \end{eqnarray*}$ Kern und damit Normalteiler ist, wurde auch in unserem Skript gezeigt, ja. Mir ist dann nur immer noch nicht klar wie man von

$\begin{eqnarray*} \left\{ uN: u \in N\right\} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{u \in U} uN\right) / N \end{eqnarray*}$

kommt, kannst du mir da evtl noch einen Zwischenschritt angeben?

Vielleicht könnte man argumentieren, dass

$\begin{eqnarray*} UN/N := \left\{ (un)N: un \in UN \right\} = \left\{ unN: u \in U, n \in N \right\} = \left\{ uN: u \in U\right\} \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} | nN | = | n | \ \forall n \in N \end{eqnarray*}$ und damit, wegen $\begin{eqnarray*} nN \subseteq N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} nN = N \ \forall n \in N \end{eqnarray*}$ ? Allerdings verstehe ich dann wiederum nicht, wozu der Umweg über $\begin{eqnarray*} \left(\bigcup_{u \in U} uN\right) / N \end{eqnarray*}$ überhaupt benötigt wird.

09.03.2017, 13:16

Elvis

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Zitat:

Original von alina94
$\begin{eqnarray*} UN/N := \left\{ (un)N: un \in UN \right\} = \left\{ unN: u \in U, n \in N \right\} = \left\{ uN: u \in U\right\} \end{eqnarray*}$

Das stimmt wegen $\begin{eqnarray*} (un)N=u(nN)=uN,\forall u \in U,\forall n\in N \end{eqnarray*}$ , man braucht dafür nur die Gruppeneigenschaft von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Warum man $\begin{eqnarray*} UN=\bigcup_{u\in U,n\in N}\{un\}=\bigcup_{u\in U}uN \end{eqnarray*}$ schreiben sollte, weiß ich auch nicht (obwohl es nicht falsch ist).

09.03.2017, 19:52

alina94

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ok, dann ists jetzt denke ich klar soweit... danke wieder!

20.03.2017, 16:58

RavenOnJ

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RE: Beweis Noetherscher Homomorphiesatz

Zitat:

Original von alina94

$\begin{eqnarray*} \phi: U \rightarrow UN/{\color{red}U}, u \rightarrow uN \end{eqnarray*}$ .

Du solltest das mal zu $\begin{eqnarray*} \phi: U \rightarrow UN/{\color{green}N}, u \rightarrow uN \end{eqnarray*}$ verbessern.