Flächeninhalt gesucht

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ThomasT Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt gesucht
Hallo miteinander

Folgende Skizze sei gegeben:

[attach]44028[/attach]

Gesucht ist der Flächeninhalt der markierten Fläche.

Ich habe bereits eine ähnliche Aufgabe gelöst. Da konnte ich mit den Höhen arbeiten und so die Teilstrecken als Verhältnisse voneinander schreiben. Hier scheint dies leider nicht mehr möglich zu sein, oder irre ich mich?

Wenn man bspw. die Teilstrecken, welche von A aus gehen (Richtung Schnittpunkt im Innern des Dreiecks) mit a und b beschriftet, so gilt für die gesuchte Fläche X:
X = 0.5 * a * h_B (h_B = Höhe auf den Punkt B)
sowie
8 = 0.5 * b * h_b

--> X = 0.5 * a * 16/b.

Nur: Mit dieser Info komme ich nicht wirklich weiter.

Sieht jemand, wie man hier beginnen könnte / sollte?

Danke für die Hilfe und einen schönen Freitag!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der gesuchte Flächeninhalt ist gleich 12. Ist mehr oder weniger Satz von Menelaos, und der wiederum eine einfache Folgerung aus dem Strahlensatz, d.h., man kann es auch gleich mit letzterem begründen:

[attach]44039[/attach]

Die relevanten Punkte seien wie in der Skizze mit bezeichnet, außerdem sei der Schnittpunkt der Parallele zu durch mit der Geraden . Wenn der gesuchte Flächeninhalt der Teilfläche unten ist, dann gilt laut Strahlensatz







Alle drei miteinander multipliziert ergibt sich 1, mithin , und diese Gleichung ist dann noch zu lösen.
 
 
ThomasT Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL smile

Vielen Dank für deine Erklärung.
Ich hätte da noch eine Frage: Du schreibst, dass die Verhältnisse aus dem Strahlensatz folgen. Ich kenne den Strahlensatz nur bezüglich Verhältnissen von Streckenlängen, nicht von Flächeninhalten. Könntest du mir evtl. noch sagen / zeigen, wieso man den Strahlensatz auch auf Flächeninhalte anwenden kann, und wieso dann z.B. das erste Verhältnis folgt?

Vielen Dank und liebe Grüsse,
TT
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Strahlensatz meinte ich nur die beiden Gleichheiten und .

Die jeweils letzten Gleichheiten in den drei Zeilen basieren darauf, dass bei Grundseitenteilung und derselben Höhe dann wegen und entsprechend für das Verhältnis der zugehörigen Flächeninhalte und der Teildreiecke gilt. Also ganz ähnlich, wie du es in deinem Eröffnungsbeitrag ja auch schon angesprochen hast - deswegen habe ich mich da kurz gefasst.


Wenn man die drei gegebenen Flächen gemäß der anliegenden Eckpunkte kurz mit bezeichnet, dann ist in der Skizze oben . Im allgemeinen Fall bekommen wir daher (mit Flächeninhaltsoperator ausgedrückt):





,

das Produkt 1 führt zur Gleichung , was ausmultipliziert die quadratische Gleichung ergibt. Diese Gleichung hat eine negative und eine positive reelle Lösung, letztere ist die uns hier interessierende:

.
ThomasT Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL smile

Sorry, ich hätte nochmals eine kleine Rückfrage, weil mir das noch nicht 100% klar ist.
Also wie man auf die Verhältnisse kommt, ist mir dank deinen Erklärungen völlig klar, vielen Dank!

Aber wieso setzt man ? Bzw. wieso darf man das?
Alles Weitere ist mir dann wieder klar.

Vielen Dank für die Erläuterung!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei solchen Nachfragen nach trivialsten Dingen frag ich mich, inwieweit du überhaupt mitdenkst. Finger2

Die linken Seiten miteinander multipliziert ergibt , also kommt 1 auch beim Produkt der rechten Seiten heraus, d.h. . Den Nenner nach rechts gebracht entspricht das .

P.S.: Das mit dem "Produkt = 1" habe ich zweimal oben erwähnt, dazu noch der Link auf Menelaos, weil das dort ja auch die Essenz ist. Was brauchst du denn noch??? unglücklich
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