Matrix und Norm

04.03.2017, 15:23

Sito

Matrix und Norm

Guten Tag zusammen,

ich habe eine Aufgabe bei der ich leider überhaupt nicht verstehe was ich nun zeigen soll..

Sei $\begin{align*} X = \mathbb{R}^n \end{align*}$ oder $\begin{align*} \mathbb{C}^n \end{align*}$ , sei $\begin{align*} ||\cdot|| \end{align*}$ eine Norm auf $\begin{align*} V \end{align*}$ und sei $\begin{align*} A: V \to V \end{align*}$ eine lineare Abb. Wir definieren die Norm von $\begin{align*} A \end{align*}$ als $\begin{align*} ||A||_M = \sup_{\substack{x\in V\\||x||\le 1}}||Ax|| \end{align*}$ .

In einer ersten Aufgabe sollten wir zeigen, dass $\begin{align*} ||\cdot||_M \end{align*}$ eine Norm auf $\begin{align*} End(V) \end{align*}$ definiert. Hat soweit funktioniert.

Der folgende Aufgabenteil ist hauptsächlich das Problem:
Sei nun $\begin{align*} ||\cdot||= ||\cdot||_{\infty} \end{align*}$ und $\begin{align*} (A_{ij}) \end{align*}$ die Matrix von $\begin{align*} A \end{align*}$ bzgl. der Standardbasis. Zeigen Sie, dass $\begin{align*} ||A||_M=\max\limits_{1\le i\le n}\sum\limits_{j=i}^{n}|A_{ij}| \end{align*}$ gilt.

Muss ich nun zeigen, dass $\begin{align*} ||A||_M=\sup_{\substack{x\in V\\||x||\le 1}}||Ax||=\max\limits_{1\le i\le n}\sum\limits_{j=i}^{n}|A_{ij}| \end{align*}$ gilt? Falls ja, muss ich leider gestehen keine Ahnung zu haben was das eine mit dem anderen zu tun hat...

Wäre für ein paar Erklärungen dankbar.
Gruss Sito.

Edit Equester: Verschoben Augenzwinkern

05.03.2017, 10:17

IfindU

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RE: Matrix und Norm

Zitat:

Original von Sito
Muss ich nun zeigen, dass $\begin{align*} \sup_{\substack{x\in V\\||x||\le 1}}||Ax||=\max\limits_{1\le i\le n}\sum\limits_{j=i}^{n}|A_{ij}| \end{align*}$ gilt? Falls ja, muss ich leider gestehen keine Ahnung zu haben was das eine mit dem anderen zu tun hat...

Genau. Zu beachten ist, dass beim linken Ausdruck beides Male die $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Du zeigst die Gleichheit, indem du beide Ungleichungen $\begin{eqnarray*} \geq, \leq \end{eqnarray*}$ zeigst.

Fuer $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ :
Berechne $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ , indem die Definition der Matrix-Vektor Multiplikation benutzt. Dann solltest du schon leichte Aehnlichkeit zum rechten Ausdruck erkennen. Dann berechne $\begin{eqnarray*} \|Ax\|_\infty \end{eqnarray*}$ (noch mehr Aehnlicheit zur rechten Seite. Nun bleibt es das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wegzuschaetzen, mit der Information, dass $\begin{eqnarray*} \|x\|_\infty \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Fuer $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ :
Es reicht ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x\|_\infty \leq 1 \end{eqnarray*}$ anzugeben, so dass $\begin{eqnarray*} \| Ax \|_\infty \geq \max\limits_{1\le i\le n}\sum\limits_{j=i}^{n}|A_{ij}| \end{eqnarray*}$ .

07.03.2017, 21:01

Sito

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Hat soweit funktioniert, besten Dank für die Tipps.

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